生物演化模型在小世界网络的自组织临界性[20191223160633]
摘要
本文研究了小世界网络的拓扑性质及生物演化模型在小世界的非线性动力学行为。主要研究了小世界连接概率对网络的度，度分布，平均路径长度，聚集系数的影响，小世界连接概率增加会导致最大度值的增加最短路径变小等等一系列的现象。同时研究了雪崩行为及节点变异情况。雪崩分布满足幂律分布，随着捷径的加入，变异节点不再具有区域性，而是遍及整个网络。此外，节点变异次数的概率分布也随小世界连接概率的增加在双对数坐标上趋向泊松分布。
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关键字:生物演化模型小世界网络自组织临界幂律行为
目 录
第一章 引　言 1
1.1复杂网络简介 2
1.2网络的基本概念 3
1.2.1度&度分布 3
1.2.2 平均路径长度 4
1.2.3聚集系数 4
1.3 网络模型 5
1.3.1随机网络 5
1.3.2小世界网络 6
1.3.3标度自由网络 6
1.4自组织临界性简介 7
1.4.1自组织临界性的概念 7
1.4.2自组织临界模型 8
第二章 生物演化模型在小世界网络上的自组织临界性的研究 10
2. 1生物演化模型及其复杂动力学行为 11
2.1.1小世界模型的构造 11
2.1.2生物演化模型的构造 12
2.2 模拟结果与分析 12
2.2.1连接度分布的比较 12
2.2.2 平均最短路径和集聚系数 13
2.2.3 G(t)演化曲线 14
2.2.4 雪崩的幂律行为 15
2.2.5各个节点的变异次数和概率分布 17
2.3本章小结 19
结束语 21
参考文献 22
致谢 23
第一章 引　言
复杂科学，是一门非常新的科学，它是由许多门科学相互交融，穿插的科学，它的研究对象，是我们生存的这个世界中的非线性规律和复杂性规律。在现代社会，人们给予了复杂科学相当高的地位，就像爱因斯坦不断完善，推翻前人的公式一样，复杂科学跳出了前三百年经典科学中的一些旧有模式譬如线性、均衡、还原论的这些思考研究方式，引入了非线性、非均衡、复杂整体这些新的不同于以往旧有模式的思维新方法。人们称非线性科学是二十世纪的第三次科技革命，复杂科学更是被冠以“二十一世纪的科学”这座桂冠。复杂网络，它可以说是复杂科学的根基，没有复杂网络，复杂科学很多研究是没有办法开展的。复杂网络更是复杂科学的核心内容。有人会说这门科学的应用方面是哪些，其实，像供电系统，理科，数学，生物、病理学科，建筑、交通等等一些学科中，都涉及到了复杂网络的研究理论，它的身影无处不在。所以，在现今这个互联网时代，想要避开复杂网络的研究、想要避开它的定量与定性特征的研究，几乎是不可能的。
复杂网络的研究热现象，源于两个始创性的研究工作，在1998年，Watts和Strogatz在自然杂志投稿，首次提出了小世界网络的模型，小世界网络是一种介于随机网络和规则网络之间的一种网络模型，之后我们会详细提到。小世界网络的聚类特性和平均路径长度同时兼具了随机网络和规则网络的特点，这对于复杂网络的研究可以说是历史性的一步。第二年，Barabasi和Albert又在学术性期刊《科学》上投稿，声称他们发现许多复杂网络的连接度分布并不是毫无规律可循，而是遵循幂律形式。他们还指出，幂律分布的特征长度很隐晦，并不是那么一目了然。所以，他们命名此类网络为无标度网络。当这两件轰动学术界的事情发生后，科学家们便开始在此基础上研究复杂网络，国内的科学家不甘落后，加入了研究复杂网络的大军。之前提到过复杂科学涉及的学科众多，所以，单一学科研究复杂网络是不全面的，社会经济学，图论，计算机网络，生物进化，药理学，统计学，物理学等一些学科的科学家共同参与了复杂网络的研究。我们都知道生物生命学科有很多网络，人体各个器官组成的网络，细胞之间的相互作用组成网络，蛋白质、DNA、RNA之间相互作用组成网络[1]，更别提宏观上的生物进化，生物链网络，社科也要用到人际网络，语言学网络。所以复杂网络存在我们生活中的方方面面。研究复杂网络也要用到工具，比如数学工具，图论，物理学工具中的统计物理学，社科工具中的网络分析等等一系列的工具。
1.1复杂网络简介
我们用简单的话语来总结概括复杂网络：它是一种大规模网络，这种网络具有相当繁复的拓扑结构，并有动力学特征。规则网络，随机网络，介于他们之间的小世界网络，没有明显特征长度的无标度网络，都是复杂网络的一些经常用来研究的模型，他们很具有代表性。既然复杂网络是一门严谨的科学，我们往往采用数学模型来模拟，当然我们简化了很多变量，来让这些网络更加方便我们研究，无标度网络模型，ER随机图模型和小世界网络模型是我们经常用到的如图1.1和1.2为复杂网络以及规则网络，小世界网络，随机网络示意图。复杂网络的一些特征：稳定性，柔性，统计特性，都是通过这些数学模型进行研究得到的。复杂网络的节点是活性的，这意味着它的节点之间是非线性的，这就是我们用来区分复杂网络和一般的线性网络之间不同的判断标准。在生活中，有相当多的事物其实都是复杂网络，比较明显的比如说我们正在使用的电脑网络，例如万维网，英特网，FTP这些我们狭义定义为网络的复杂网络，实际上在生物界内，包括身体内的各个组织器官，DNA序列，细胞神经网络,大到整个生态系统的生物链，食物链，生物网络也是属于复杂网络的范畴，上升到更加实用科学范围的公路网络, 超大规模集成电路, 航空公司安排飞机飞行的航空网络, 供电的电力网络,流行病传播等。而且网络之间节点的联系可以从上面举出的例子来看，其实多样化和立体的，拿食物链来说，食物链其中的一环出现变动，影响的可能是整个食物链的稳定，而这种联动性，我们称之为动态演进性。节点之间的互动关联并不是全局的，而仅仅局限于局域，我们称之为局域互动关联性，但这种局部的互动关联会影响网络整体的演化行为。随着整体演化的进行，网络整体本身也在不断的进化和变化，当多个连接的网络同时进行演化和变化的时候，网络之间又会相互影响，就像禽流感一样，禽类的疾病通过变异，是有可能感染人类，影响人类疾病传播。他们相互影响的方式，我们称之为耦合，不同网络的节点和边是不同的，这意味着他们的连接方式也不同，也就意味着像ER随机网络模型和小世界网络模型的连接方式是不一样的，必须用不同的数学模型来模拟和描述。 图1.1 复杂网络示意图 图1.2规则网络小世界网络随机网络示意图
1.2网络的基本概念
1.2.1度&度分布
在研究网络之前我们首先要明白一些专业术语的定义，第一，度。什么是度？在网络中具有许多个节点，而节点之间又相互连接，一个节点与其他节点连接形成边，边的数目，我们称之为度。假设一个节点，与它连接的边有六条，这个节点的度为6。我们把度用统计学的方法进行统计并得出分布图。
就像不同公司的业绩报表不一样，具有不同性质的结构的网络中的节点具有不同的度，相应的他们的度分布也不一样。大致的说，规则网络、随机网络、小世界网络的度分布就是不一样的，具有相同性质的网络，但有着并不相同的网络的节点度，这时它们存在的节点度分布相同的情况，当然，更多情况下度分布还是有差别的。
Poisson分布我们又叫它泊松分布，在统计与概率学经常能够看到，在分布中属于离散概率分布 ，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
泊松分布，它的概率分布和大部分概率分布一样是有函数 的，这方便我们用数学的思维去解决它，它的函数是：
（公式1.1）
在泊松分布的图中，我们发现λ这个单位，λ在坐标里的意义是在单位时间当中，会发生一定的随机事件，平均发生随机事件的几率，就是λ。在统计学中，方差和期望是肯定会被放入研究对象的数值，很巧的是，λ同时是泊松分布的方差和期望。
什么叫随机事件呢，在现实生活中，买票上动车的身份证号排列，正负离子对撞机发射原子，在疾病研究当中的病毒，其恒定的平均瞬间速度为λ且没有任何规律的并且单独出现的时候，我们就能说这个事件，它出现的次数或者它出现的个数，都是服从泊松分布规律的。这就是为什么连管理科学，生物学，自然科学一些没有太大关系的科学，都会研究复杂网络。  

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