二阶常微分方程的两导数rkn方法【字数：6033】
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
引言1
1 解的存在唯一性定理 3
1.1一阶微分方程解的存在唯一性 3
1.2二阶微分方程解的存在唯一性 3
2 TDRK方法4
2.1 TDRK方法的一般格式4
2.2 TDRK方法的阶条件5
3 RKN方法 5
3.1 RKN方法的一般格式 5
3.2 RKN方法的阶条件 7
4 TDRKN方法 8
4.1 TDRKN方法的一般格式 8
4.2 TDRKN方法的阶条件 9
4.3 二级四阶的TDRKN（TDRKN2S4）方法12
4.4数值实验13
问题一： Franco的线性方程问题14
问题二：van der Pol方程14
问题三：线性初值问题15
5 结论16
致谢16
参考文献17
二阶常微分方程的两导数RKN方法
作者 宋莞平
引言
引言
二阶常微分方程应用于许多领域，如天文力学中的开普勒问题以及多体问题、经典的牛顿第二定律、量子力学中的de Brog *景先生毕设|www.jxszl.com +Q: @351916072@
lieBohm运动理论、物理中的LRC电路、分子动力学中的LennardJones势、化学或生物中的浓度问题[1][2][3][4]等。其中的许多问题都可以归结为如下形式的二阶常微分方程初值问题：
（1）
其中是连续向量函数。RungeKutta(RK)方法是用来求解一阶常微分方程初值问题的传统方法，二阶或更高阶的常微分方程初值问题可以通过增加分量方程的方法把原问题进行降阶，转化为一阶常微分方程初值问题，再用RK方法求解。处理二阶微分方程初值问题（1）的传统方法是将其转化为一个等价的一阶系统：
（2）
在初始条件下，可用RungeKutta(RK)方法或线性多步法(LMMS)等传统方法分别求解一阶系统（2）[3]。，Nyström为了直接求解二阶常微分方程初值问题（1），于1925年提出了RKN(RungeKuttaNyström)方法。通过实验证明，RKN方法与传统方法相比，计算量减少了25%。上世纪60年代，J.Butcher通过建立有根数与B级数理论，构造了求解二阶常微分方程初值问题的更髙阶方法。Butcher[3]、Simos和VigoAguiar[5]、Franco[6]等进一步给出了RKN方法的一些变化形式。
对于二阶受扰动振子微分方程，Franco[7]改进了经典RKN方法的更新级，设计了一种适用的 RungeKuttaKuttaNyström(ARKN)方法，该方法对精确积分。对于方程中的具有非负对角矩阵的更一般的情况，Yang[8]等人提出了一种新的扩展RungeKuttaNyström(ERKN)方法，其内级和更新都对无扰动的谐振子精确积分。You等人进一步扩展了ERKN方法的思想[9]，对于一般二阶微分方程的积分公式（其中M是包含问题频率的隐式半正定矩阵）提出了相应的计算方法。
为了提高一阶微分方程的数值积分方法精度，Kastlunger和Wanner[10]等人在求解的数值格式中引入了的更高阶导数。特别地，Urabe[11]第一次尝试针对微分方程中的提出了一种隐式单步控制方法，Hojjati等人设计并分析了刚性系统的二阶导数多步方法。Shintani[12]提出了一种利用的估计值和的若干估计值的RungKutta格式。为了更精确的求解一阶常微分方程初值问题，Chan和Tsai[13]等人在传统RK方法的基础上系统地研究出了两导数RungeKutta(TDRK)方法，该方法在原RK方法的基础上，增加了的更高阶导数，新方法相较于原RK方法有更高的求解精度，更高效。基于TDRK方法，Tsai等人[13]继续发展了一族一阶和二阶导数必须以有效的方式离散化的新的有效偏微分方程组(PDES)，该方法克服了传统直线法的刚性限制，在处理PDEs空间离散化方面具有一定的灵活性。
Fang[14]，Zhang[15]和You[16]提出了用指数拟合或三角拟合的TDRK方法求解如 FermiPastaUlam问题和Schrödinger方程等振荡微分方程的方法。
RungeKutta方法的阶条件以及本文新构造的TDRKN方法的阶条件都是通过比较精确解与数值解的泰勒展开式得到的。Wu[17]等人利用一种新的三色树，即特殊扩展的Nyström树，得到了ERKN方法的阶条件，You等人建立了一个关于特殊Nyström树的系统理论。
很多涉及程序应用的问题，例如 Landau和Lifshitz[4]的弹簧阻尼振荡问题，Franco[7]的大气阻力人造卫星模型问题，以及Franco[18]的两体引力问题和Weinberger[19]等的波在介质中的传播问题中，形式的微分问题十分常见。在本文中，我们首先给出了一阶和二阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理，概述RKN方法和TDRK方法格式和阶条件，之后受Chan and Tsai[13]、Fang 和You[17]的两阶导数龙格库塔(TDRK)方法的启发，我们提出并研究解决二阶常微分方程初值问题的二阶RungeKuttaNyström(TDRKN)方法，得到新方法格式，计算出新方法阶条件，并构造出具有实际参数的2级4阶TDRKN方法，引用文献中提供的三个实验，与前人实验结果进行对比验证新方法的高效性。
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