组合序列的二项式变换及其hankel行列式初探
目录
摘要 1
关键词 1
Abstract 1
Key words 1
引言 1
1 绪论 2
1．1 国内外发展状况 2
1．2 研究问题 2
2 基础知识 2
2．1 常用组合序列的定义及通项公式 2
2．2 组合序列的二项式变换及Hankel变换 4
2．3 Catalanlike数的定义和性质 5
3 Catalanlike数的探究 8
3．1 Fibonacci序列 8
3．2 Catalan序列 8
3．3 Motzkin序列 9
4 Catalanlike数向前向后移位序列性质的探究 11
4．1 Catalan序列经过二项式变换后的新序列 11
4．2 Motzkin序列经过二项式变换后的新序列 14
5 总结 17
致谢 17
参考文献 17
组合序列的二项式变换及其Hankel行列式初探
引言
引言< *景先生毕设|www.jxszl.com +Q: ^351916072#
br /> 组合序列的研究起源于组合数学中的计数问题，同时它们还被作为计数工具来使用，在组合数学的研究中起着着非常重要的作用。经典组合序列一直是组合学界的热门课题之一，二次项系数、Catalan数、Motzkin数、Fibonacci数等等都是在组合数学研究中经常遇到的经典序列，其应用也很广泛，已经具有相当长的历史。
Catalan数作为组合数学中十分重要的序列之一，以比利时数学家Catalan命名，有着悠久的历史。在1999年，德国组合学家Aigner提出了Catalanlike数的概念，这是一项具有重要意义的工作，推动了组合序列的发展。此外，近几年来，对组合序列构成的Hankel矩阵的研究也很活跃。
本文介绍了Fibonacci序列、Catalan序列和Motzkin序列和其经过二项式变换后的序列，给出其对应的Hankel行列式，同时我们引入Catalanlike数的概念及其与常见的组合序列之间的关系，并给出Catalanlike序列的前后移位序列的Hankel行列式满足的性质，对Fibonacci序列、Catalan序列和Motzkin序列经过二项式变换得到的新序列进行讨论研究。
1 绪论
1．1 国内外发展状况
最近几十年来，在计算机科学、运筹学等学科的推动下，组合数学获得了异常迅速的发展，同时，它也对这些学科的研究发展起了促进作用。现在，关于组合序列的研究特别是应用研究从未间断过，在组合学家的的推动下，组合数学涉及的范围越来越广阔，具有十分远大的前景。
组合数学中，Catalan数有着悠久的历史，其应用也十分广泛。在清代，我国著名的数学家明安图就在他的《割圆周率捷法》中提到了“卡特兰数”[1]，后来，他的学生在1774年将其完成发表。近二百年来，由于Catalan数的独特性质及广泛用途，不少数学工作者投身于该序列的研究。1838年，比利时的数学家Catalan在研究组合数学问题时也发现了该序列，虽然他不是Catalan数的最早发现者，但是他对Catalan数的研究工作吸引了国内外很多数学家的关注，极大地丰富了组合数学的内容。后来，人们对Catalan数的计数问题不断进行推广研究，逐渐发现了各种各样的组合结构，推动了组合数学的发展[2]。迄今为止，关于Catalan数的论文已有500多篇，用Catalan数计数的枚举问题已达到将近70个。
德国的组合学家Aigner首先提出了Catalanlike数这个概念，并在1999年和2001年分别发表了关于Catalanlike数的一些研究成果，给出了递归矩阵和Catalanlike数的定义[34]。2014年，孙华给出了Catalanlike数的对数凸性的组合证明。Catalanlike数能把Catalan数、Motzkin数、中心二项式系数等组合序列联系起来，形成一个统一的框架，给人们提供了一个新的研究方向，是一项具有重要意义的研究工作。此外，Hankel矩阵也是人们研究组合序列性质时经常关注的内容，在1998年，Ainger讨论了Motzkin数的性质和Hankel行列式。Radoux则在一系列文章中讨论了几类特殊组合序列的Hankel行列式[3]。近几年来，从组合序列构成的Hankel矩阵研究组合序列的性质也是比较活跃的研究领域。
1．2 研究问题
本文对组合序列的以下三个方面进行研究：
Fibonacci序列、Catalan序列和Motzkin序列的二项式变换；
Fibonacci序列、Catalan序列和Motzkin序列经过二项式变换后的新序列是否仍然是Catalanlike序列；
上述序列经过二项式变换之后的新序列的前后移位序列的性质。
2 基础知识
2．1 常用组合序列的定义及通项公式
2．1．1 Fibonacci序列
意大利数学家Leonardo Fibonacci在《算盘书》中的第三部分，提出了经久不衰的兔子问题：在一年之初，把一对雌雄兔子放进围栏内，从第二个月开始，每月生出雌雄一对小兔子，而每对小兔子从它们出生的第二个月开始便每月生出雌雄一对小兔子。问一年后，栏内有多少对兔子？此问题可以变为个月后有多少兔子？
设表示第个月开始时围栏中的兔子对数，则有，并且满足。若规定，则有下列递推关系[5]及其初始值：
。
我们把满足上述递推关系及初始条件的序列称为Fibonacci序列[1]，序列中的每一项均被称为Fibonacci数。
Fibonacci数的通项为：
。
2．1．2 Catalan序列
Catalan数有很多种组合解释，如果考虑依次相乘的个项的乘积。每一种方式都对应于由两个项进行的逐次相乘的乘积的计算，在这个乘积中加入括号的不同方式数称为Catalan数[5]。
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