金融投资收益与风险的数学模型及其应用
s of financial investment is the research focus. Research has showed that in order to get higher expected returns and minimizing risks at the same time, we need to put money into several different financial investment products. So looking for the feasible way of portfolio investment becomes the key of modern financial investment. To this, this thesis will use operational research, mathematical statistics and other related knowledge, and computer mathematics experiment technology to set up a mathematical optimization model of financial investment returns and risks. And we can use the mathematical software MATLAB to get the optimal solution of the model under different circumstances. For any investment, this model can be used to find the optimal combination of maximum expected returns and minimum risk.1金融投资数学模型概述1.1金融投资概述金融投资属于商品经济的范畴。它是跟随经济发展，在实物投资的基础上产生的一种投资形式。而且伴随投资概念的不停进步和丰盈，金融投资比实物投资愈加受到投资者的亲睐和注重。由于它能够扩大生产资本，放大获利收益，逐渐被越来越多的公司和个人所接受。而它本身又可以和实物投资分割开来，在其随机性加强的同时，其投资的风险性也随之增大。为了保障金融投资的盈利性和稳定性，金融投资的操作风险管理应运而生。现如今，我国商品社会不停进步，市场经济和金融市场不停发展和完善，金融投资的产品和模式与日俱增，研究表明，联合不同类型的金融投资，跨平台运作的风险是可控的，金融投资才能实现稳定利润，在生产和生活中发挥更积极的作用。1.1.1金融投资收益与风险金融投资兼具收益性和风险性。金融投资者的投资目标是为了获得尽可能大的的投资收益和尽可能小的投资风险。在金融市场中，用收益率来反映金融投资收益水平，它也是投资者选择投资项目的重要指标之一。从数学的角度来看，收益率是投资者投资时对投资效应的预期，即投资收益与投资额的比值，也可以看作投资者投资后的实际利润增长率。而根据投资者投资项目的差异，他们面临的金融收益和金融风险也各不相同。从中获取理想的投资收益是当前金融投资者进行金融投资的主要目的。众所周知，金融投资往往陪同必然的风险。金融投资风险是指投资者在投资该项目时可能面临的影响其收益的不同因素，目前的金融投资风险主要包括金融市场风险、利率风险和政策风险等。金融投资的收益与风险是不可分割的，它们彼此影响，彼此依存。从金融市场的客观规律来看，金融投资的收益率越高，相对应面临的风险就越大，二者成正比。同样，二者也是不可分割的，有收益就存在风险，投资者在得到投资收益的同时必然也面临相同程度的风险。因此，投资者在投资时必须正确看待两者之间的关系。1.1.2金融投资组合投资者或金融机构持有的债券、股票、以及其他一些衍生金融产品构成的整体，我们称之为金融投资组合。投资组合能够风散风险。证券投资准则规定，投资组合是指投资者必须选择不同类型的有价证券或多种相同类型的有价证券，将资金按照一定比例对它们进行投资，这是一种分散的投资形式。证券投资准则能够很好的降低投资风险，保护投资者利益。现在的金融投资组合理论最早是由美国的马克维茨提出来的，然后在金融投资市场的激烈竞争中，以及社会资源的合理分配中得到不断发展和完善。投资组合理论指的是多个证券的组合，在马克维茨的投资理论中，平均收益和收益方差存在于所有的投资资产中。用证券收益的加权平均值表示其收益。因为投资组合可以减少非系统风险，即可以将风险分散，所以这些证券风险的加权平均值无法表示其平均值。1.2金融数学模型的背景1900年路易·巴舍利耶提出投机理论，金融数学模型开始出现，投机理论的出现成为连续时间的随机过程和连续时间的期权定价理论产生的标志。但在接下来的半个世纪中这些模型在实际中并没有得到很好的重视，虽然在1938年，麦考利建立了利率债券价格的敏感性分析模型，在债券交易市场上，这个模型对债券发行者和投资商有很大的帮助。直到20世纪50年代末60年代初，马克维茨创造了这个时期最具有影响力和标志性的成就，就是他在1959年提出的期望方差模型，它也被称之为华尔街20世纪的第一次金融革命，这个模型出现之后，吸引了大量的数学家和经济学家，他们对这一领域进行钻研和探索，不停对这一模型进行改进，也相应出现了一些新的投资组合选择的数学模型，这时数学建模在投资分析和资本市场中才取得重大突破，现代金融理论研究的新时代开始了。布莱克和斯科尔在1973年提出的基于非派息股票的衍生证券的价格必须满足一组微分方程这一理论是金融理论的另一次革命性成果。在此之后，新成就不断出现在金融衍生产品定价理论中，最终在20世纪90年代，一个新的金融学科，金融工程形成了。虽然金融数学模型在西方出现较早，但长期以来尚未得到重视和有效利用，金融数学模型得到金融市场投资分析的关注是发生在马克维茨的证券组合模型和布莱克和斯科尔的期权定价模型的出现之后。同时在布雷顿森林体系下，固定汇率制度发生崩溃，世界石油出现危机，这一系列因素逐渐使得大家认识到一个问题。如果仅仅限于对历史数据和简单回归技术实例分析的简单应用，很难很好的解决投资决策和风险管理中存在或发生的一些问题。20世纪90年代之后，数学家和经济学家不断对金融工具进行创新，金融数学模型慢慢发展成为金融机构风险管理不可或缺的工具。而一些非金融企业也开始使用一些金融数学模型来满足自身需求。金融市场虽然在中国起步较晚，金融工具寥寥无几，金融模型的应用程度也低于西方，但随着市场经济的不断发展，中国改革开放也在不停深化，已经开始兴起了很多的新的金融工具，相信在不久的将来，中国的金融数学模型一定会得到越来越广泛的关注和运用。2金融投资收益与风险数学模型在现代金融投资市场中，当前金融投资研究的核心是金融投资的收益与风险，而建立数学模型是研究金融投资的重要手段。通过建立数学模型，分析市场金融投资的收益和风险，寻找切实可行的最佳解决方案，以获取最大经济利益。数学模型在金融投资领域的运用，不仅确保了金融投资者的最大收益，而且对保证中国经济市场的稳定运行有重要意义。当实际问题需要从定性或定量的角度进行剖析时，人们先调查分析研究对象的相关条件和信息，进行相应的假设，分析其内部规律，并以此为基础，用数学符号和语言将实际问题转化为数学公式，这种研究方式我们称为数学建模。最后，实际问题通过模型的计算结果来得到解决，并进行验证和解释。数学建模就是指建立数学模型的整个过程。数学建模有很多种方法，但基本思想是一样的，就是简单抽象地将复杂的实际问题转化为合适的数学问题的过程，大致可以分为几个步骤模型筹备、模型假设、模型形成、模型求解、模型剖析、模型检查。通过了解，我们知道金融投资兼具收益性与风险性。我们需要对金融市场中的金融投资产品进行选择，然后再进行组合投资，只有这样才有可能在实现期望收益的同时把风险降到最低。一般来说，资产的收益水平用收益率表示。在市场经济中，投资收益率是一个随机变量，它的投资收益用数学期望表示。而风险是指实际收益率发生波动，即投资时实际收益具有不稳定性，它可以用方差或标准差来表示。2.1金融投资组合模型一、问题的提出假设市场上现在有种资产，投资者可以对其进行选择，已知当期资产的平均收益率为，风险损失率为，交易费费率为。规定购买量给定值为（当购买量不超过给定值时，交易费按购买算，不买则无须付交易费）。为同期银行存款率，并且银行存款既无交易费又无风险。如何对这些金融资产和银行储蓄存款获利进行选择和组合投资，使投资者能获得尽可能大的净收益同时，面临尽可能小的风险。建模假设规定投资者在选择金融投资产品和进行投资组合时，资金只能用于资产投资或者银行利息，不得用于其他目的。（）表示当期用于资产的投资比例，总投资资产为；在这里投资收益率是一个随机变量，投资收益用数学期望来表示，风险用标准差来度量，用所投资的中最大的一个风险来衡量组合投资的总体风险。三、模型建立由模型假设可得资产组合投资的预期收益率为风险，即总体方差为并且满足用预期收益与交易费的差来表示预期净收益，金融投资收益与风险的数学模型为 （2.1）我们的目标是使预期收益最大，而相应风险最小。因此我们得到的非线性规划模型是双重目标的，为方便求解，我们需要将其改为单目标的。定义由于所以上述模型可以转化为下面非线性规划模型，由双目标变成了单目标即（2.2）当总资金足够大时，相比较就会很微小，其对预期净收益的影响就会非常小，因此可以将其忽略。因此模型（2.2）可化成为下述线性规划模型 （2.3）上述模型需要注意的问题（1）该模型主要是为了解决于在市场经济条件下，预期得到较高的期望收益的投资组合，主要追求最大利益，因此，我们将目标“风险最小化”转化为模型的约束条件，但该做法仅限于本模型的解决方式。（2）建立模型时，我们在一定程度上对问题进行了简化，因此模型求得的最大期望收益值可能会与实际状况有差异，但不会过多影响组合投资方案的抉择。（3）对于任意投资额，该模型均可用于解决获得最大预期收益的投资组合方案问题。分析模型（2.3），我们发现如果采用上述模型来解决问题，得到的方案在获得最大期望收益方面是可行的，但在寻求风险最小方面存在缺陷，该模型存在不足之处。如果是很复杂的投资方案，如何选择和组合投资才能既保证既得到预期收益，又使风险最小，因而上述金融投资的数学模型需要进行进一步的优化。2.2金融投资组合优化模型当代金融投资理论的重要内容之一就是证券投资组合理论。它基于对证券收益率和风险关系的剖析，为个人或机构的金融投资行为进行指导。同时应用证券投资组合理论，可以为投资者提供在一定预期收益率下，风险最低的投资组合方案，或者是在特定风险条件下预期收益率最大的证券组合方案。下面即对模型（2.3）进行优化，以获得在一定预期收益率下，风险最小的投资组合方案。假定市场上已经有种不相关风险资产被投资者选定，对其进行组合投资，设投资比例向量是，它们的期望收益率向量为，风险矩阵为（是一个对角矩阵，因为（），可得是一个正定矩阵），且。如果记，，，，我们容易得到，，2.2.1不相关资产组合投资优化模型如果投资者进行组合投资的只有不相关资产，那么他的期望收益率可以表示为 风险可以表示为 则不相关资产组合投资的优化模型为 （2.4）其中的取值不能高于这种投资中最大期望收益率。2.2.2有无风险资产时不相关资产组合投资优化模型无风险资产是指实际投资中没有或几乎没有风险的资产，具有一定的担保而不承担任何风险性的固有资产。由于它们受通货膨胀的影响不大，具有相对稳定的投资收益，几乎没有风险，因此可以视为无风险资产，其标准差可以看作0，它的实际收益率和期望收益总是相等。现在进行组合投资的是种不相关资产，外加1种无风险资产。是无风险资产的投资利率。不相关资产组合投资的期望收益率为风险为 其中，投资在风险资产上的比例向量为，为投资在无风险资产上的比例。得到资产投资中有无风险投资时时，资产组合的优化模型为 （2.5）其中的取值不能高于这种投资中最大期望收益率。3金融投资风险与收益的数学模型应用3.1模型2.1应用2018年最新银行存款利率如下从2015年10月24日起，为了进一步降低企业融资成本，中国人民银行决定降低金融机构人民币贷款和存款基准利率。其中，金融机构一年期存款基准利率下降到1.5%，下调了0.25个百分点。同日起，为加大对“三农”和小微企业积极性激励的财政支持力度，对符合标准的金融机构将另行下调0.5%的存款准备金率。同时为了保持银行体系的合理流动和指导货币信贷增长的稳定适当，金融机构人民币存款准备金率将下调0.5个百分点。其他等级的存款基准利率也做出相应调整。（本利率是2018年最新银行存款利率）以下是2015年10月24日起发布的最新银行存贷款基准利率表（更新于2018年1月1日)各项存款利率利率活期存款0.35整存整取定期存款利率三个月1.10半年1.30一年1.50二年2.10三年2.75表3.1 2018年最新银行贷款基准利率表由表3.1可知，存款3个月的固定利率为=1.10%。投资者在委托证券购买时需要支付各种税费，我们把这些税费的总和称为股票交易手续费。它由多个部分构成，包括佣金、转让费、印花税等。在正常情况下，经纪公司将降低拥有大资金量和交易量的客户的佣金率。同时客户是否使用电话交易、在线交易等也会相应的影响佣金率。一般情况下，在线交易的佣金相对较低。此外，一些地方还收委托费用于支付通信费用和其他费用（证券公司多的地方，由于竞争激烈，大多不收取）。为便于计算，我们使用一种简单的方法来估算股票交易费用交易费一般是交易总金额的5‰，并且买卖都要收。这表明交易费率=5‰。假设我们分别以收盘价买入以下4只股票（分别是建设银行、贵州茅台、宝钢股份、中国人寿）各1000股，然后在三个月后以收盘价卖出，用银河证券交易海王星金融计算器来计算收益率，所得结果如下/图3.1 建设银行（601939）收益率/图3.2 贵州茅台（600519）收益率/图3.3 宝钢股份（600019）收益率/图3.4 中国人寿收益率（601628）由以上数据可得表格2.2 (%) (%) (‰) (元) 2.572 2.5 5 22.00 0.818 1.5 5 977.95 -5.487 5.5 5 25.50 7.266 2.6 5 81.75表2.2 4种资产投资参照数据表根据模型（2.3），利用matlab数学软件进行求解（具体代码和结果见附录1），得到相应的能得到最大期望收益的投资组合方案。得最优组合方案为取M=100000，求得其期望收益值V为6766，相应风险为2.6%。由结果可知，此模型存在一定不足，使用matlab求解过程中由于数据精算度等存在一定误差。3.2模型2.2应用我们选取上海股票交易所的5种股票（广电电子、三爱富、申华控股、浦东金桥及飞乐音响）进行实证分析。因为它们分别属于工业、商业、综合以及地产等几类不同的行业，没有太大的相关性，能够看作是是不相关风险资产。期望收益率用来表示，方差用来表示。期望收益根据求出，风险值根据求出。根据原始数据计算得到的各种股票的期望收益率和方差如下表股票名称广电电子申华控股三爱富飞乐音响浦东金桥4.11%13.85%34.06%45.90%74.45%2.12%4.38%6.30%9.93%11.12%表3.1 5支股票的收益率和风险值根据模型（2.4），假设我们期望的预期收益率不小于50%，利用matlab数学软件进行求解（具体代码和结果见附录2），即可得相应风险最小的投资组合方案，并求得其最小风险。得最优组合方案为最小风险值为2.69%。我们选择选择银行活期储蓄为无风险资产投资，根据当时活期储蓄年利率，利用模型（2.5），仍然假设我们期望的预期收益率不小于50%，利用matlab数学软件进行求解（具体代码和结果见附录3），即可得相应风险最小的投资组合方案，并求得其最小风险。得最优组合方案为最小风险值为2.66%。综上，只要给定期望的收益率，就可以通过相应模型以及matalb数学软件求得相应的风险最小的投资组合方案以及最小风险值。4结论本文通过利用数学建模的方法对金融投资收益与风险进行钻研，结果表明，在市场经济条件下和现代金融市场中，如果想在金融投资中获得最大期望收益的同时使风险最小，必须对资产进行组合投资，即将资产按照一定比例投向几种不同的金融资产上。本文通过数学建模的方式最后建立的金融投资优化模型，通过MATLAB数学软件计算和实际应用，证明此模型对于任意投资额获得在获得期望收益时把风险降到最低的最佳组合方案都适用。致谢更重要的是感谢学校这四年以来的培养和教导，不管在生活，学习上还是日后进入社会都教会了我很多，我会一直谨记学校诚朴勤仁的校训，尽自所能服务于学校和社会。参考文献[1] 夏玉森，汪寿阳，邓小铁.金融数学模型[J].中国管理科学，1998，V（01）1-9[2] 孙光远.金融投资收益与风险的数学模型及其应用[N].甘肃农业大学学报，1999年（03）313-317[3] 马思远.关于金融投资的收益及风险的数学建模分析[J].中国经贸，2014（20）166-168[4] 马焱.投资风险与收益的数学模型探究[N].西安文理学院学报，2002，5（02）51-54[5] 屠新曙，王键.金融数学模型发展的思考[N].湘潭大学社会科学学报，2001，25（06）105-108[6] 王瑞强.投资优化模型的综述[J].现代经济现代物业中旬刊，2009，8（11）22-13[7] 卢京，张卫国.选择金融资产组合投资策略的优化[J].自然杂志，1998（02）119-120[8] 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目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
引言3
1金融投资数学模型概述4
1.1金融投资概述 4
1.1.1金融投资收益与风险 4
1.1.2金融投资组合4
1.2金融数学模型的背景4
2金融投资收益与风险数学模型5
2.1金融投资组合模型5
2.2金融投资组合优化模型7
2.2.1不相关资产组合投资优化模型8
2.2.2有无风险资产时不相关资产组合投资优化模型8
3金融投资风险与收益的数学模型应用9
3.1 模型2.1应用9
3.2 模型2.2应用13
4结论14
致谢14
参考文献14
附录16
金融投资收益与风险的数学模型及其应用
引言
引言
原文链接：http://www.jxszl.com/jsj/jsjkxyjs/57712.html
