从严密的思维出线性离散不适定问题的正则化方法(附件)【字数：5327】
目录
第一章 绪论 1
1.1 论文研究背景及意义 1
1.2 国内外研究现状分析 2
1.3 本文的研究工作及论文结构 3
第二章 线性离散不适定问题的正则化方法 4
2.1 直接正则化方法 4
2.1.1 离散正则化的基本理论知识 4
2.1.2 Tikhonov正则化方法 5
2.1.3 TSVD正则化方法 7
2.2 迭代正则化方法 8
2.2.1 Landweber迭代法 8
2.2.2 GMRES正则化方法 9
2.3 正则化参数的选取 11
2.3.1 Morozov广义偏差准则 11
2.3.2 广义交叉校验方法(GCV) 12
2.3.2 L曲线法 13
第三章 数值试验 15
结 论 20
参 考 文 献 21
致 谢 22
第一章 绪论
1.1不适定问题的基本概念
问题不适定性概念，是在上世纪20年代的初期提出的。定义如下，如果对于一个方程
，
下述三个条件之一满足，那么这个问题是不适定的：
不属于的值域空间里，因而问题的解没有；
不止有一个解存在；
解有不连续依赖。
实际上，反问题和不适定问题关系在某种意义下就是一样的，因为两者往往是一起出现，许多类型的反问题基本上都具备这个特质。同时具
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备两种特质的问题难以求解,例如下面的例题，
，
方程右侧的函数与核是已知的，而为未知。实际上，在真正求解问题过程，实际操作中所造成的微小的误差也会引起求出的解的值剧烈的波动，从而偏离真实解。
从严密的思维出发，不适定性肯定是无限维的。然而从数值计算的角度看，无限维题目的计算量大而且很有可能求不出答案来。在现实处理中，对待某些不适定问题我们常常会找到与在某些方面是有相同的特质的有限维离散问题来进行处理。不适定性可以转换为反问题线性离散系统或者最小二乘来解决的。
有方程组
， （1.1）
和最小二乘
， （1.2）
符合下面的要求：
系数矩阵的奇异值越来越接近于0；
奇异值的上限和下限差距太大，且这两奇异值都不得为0；
则叫做线性离散不适定问题。
现实中常常会想法设法的知道系数矩阵或者方程组的右端，这样去计算线性离散不适定系统的未知量，
，
这里是通过生活中的观察得知的，b则是纯理论的数据，则是真实操作肯定会出现的干扰数据，假设其独立，满足的高斯分布，期望为零。这样，我们要求解的就变为了：
， （1.3）
同时地，一个显而易见的需要解决的难题：通过已知的的条件来求x。
其实这个难题可以转换数值代数的最小二乘问题来处理。
实际上在许多实际应用中反问题均都是这么处理。
1.2 论文研究现实意义
上个世纪60年代开始，在地球物理学、医学（断层扫描大脑）、材料科学（勘察材料是否有裂纹）、辨别参数、图像分析乃至金融策略等等领域中，均有提出来“由外部表现（辅出）反过来求出内在原因（辅入）”这样的反向思维。这样的反思维在的数学上就表现为不适定性，这样一来在各个领域里的反向思维即反问题在理论求解和实例中求解时变得比较复杂。而不适定性在实例计算过程中都会归结成线性方程组的求解，不适定性导致这个方程组一定是病态的，病态方程组也就是线性不适定系统。因此，如果不使用一些别的策略，就会无法求出不适定性的稳定近似解。
1.3 国内外研究现状分析
不适定问题在现实生活中常常会遇到的难题，探讨解决方案的时间相对来说并不是很久。不适定的问题，在许多领域方面都会有所涉及，正是这种在不同的领域会展现不同的特质，就现在的情况而言该类问题理论和实际应用两方面都很不成熟，仍有许存在不少的难题。特别是下面几个难题：1）关于解的存在性，唯一性和稳定性，到现在并没有给出学术性的一般证明，使得一般求解的方法迟迟不能给出；2）原始数据有可能并不存在于所讨论问题的真实解与之对应的数据集合，也就是说有可能没有近似解；3）在实际应用中无法避免的实际观察的细微误差导致了求出的答案与真实解的严重偏离；4）没有求解一般性的方法，对待不同类别的问题的解决方法都是不一样的。
第二章 线性离散不适定问题的正则化方法
2.1 直接正则化法
矩阵分解是基础，在数据规模不大的情况下十分实用的一种正则化，常常运用SVD、QR分解，值得注重提出的是前者。
这一章节第一步介绍相关的知识储备，第二步再介绍其中的两种方法。
2.1.1 离散正则化知识储备
U代表左奇异向量矩阵，V代表右奇异向量矩阵，且，第一步对矩阵进行SVD，如下面所展示的过程：
。 (2.1)
其中，如果矩阵非奇异，则线性方程组（1.1）的解为：
， （2.2）
如果，则。假设线性不适定问题有解，那么它的极小范数就是：
。 （2.3）
其实如果分析解（2.2），可以发现系数矩阵A的部分奇异值不大在很大程度上造成问题和不适定性。所以，当数据b存在很微小的误差时，此时的奇异值会产生放大这种误差的效果。这样就使得所求出解偏离不适定问题的真实解幅度增大。当我们所做的，就是用适定方程来替换不适定问题，同时的适定方程的解逼近原问题解。Hansen已经详实仔细地讨论此时计算出近似解与真实解之间的联系。
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