摘要：本文研究基因调控网络的高效数值解法，以具有加性分块结构的基因调控网络为模型构造了若干基于变式欧拉法的分裂方法。本文首先详细介绍了Euler法，隐式Euler法，辛欧拉法及分裂法等基础方法，之后说明了基因调控网络的模型特点及应用Euler法存在的问题。在后文中设计了16种应用于双基因调控网络的基于变式Euler法的分裂法的数值实验，并通过比较数值实验结果的误差来确定高效数值解法。一系列数值实验的结果显示，在本文构造的16种基于Euler法的分裂法中两种基于辛欧拉方法的分裂法是最高效的，两种辛欧拉法的分裂法对于大的步长也表现出高效性，这种特性有利于解决在长时间模拟时的大步长问题。同时，这两种方法对较长的时间区间仍可以准确地进行数值模拟。
目录
摘要......................................................................1
关键字....................................................................1
Abstract..................................................................1
Key words.................................................................1
引言......................................................................1
1 欧拉法及辛欧拉方法......................................................1
2 分裂法..................................................................2
2.1 一般分裂过程............................................
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............3
2.2 精确流与数值流的复合................................................4
2.3 分裂为更多的向量场..................................................4
3 基因调控网络............................................................4
3.1 mRNA蛋白质网络..................................................5
3.2 基因调控网络Euler方法存在的问题......................................5
4 基于自身特殊结构的基因调控网络的分裂法..................................6
4.1 基因调控网络的分裂法基础知识........................................6
4.1.1 基因调控网络的结构分析..........................................6
4.2 基因调控网络的变式Euler法...........................................7
4.3 实验................................................................9
4.3.1 基于双基因调控网络的欧拉方法实验................................9
4.3.2 基于变式Euler法的分裂方法实验..................................10
4.3.3 数值方法间的误差比较...........................................14
4.3.4 不同时间区间的误差比较.........................................17
5 结论...................................................................20
致谢.....................................................................21
参考文献.................................................................21
基因调控网络的分裂方法
引言
引言 基因表达调控机制的探索已成为医学和生物科学中心主题之一 (如细胞生物学，分子生物学和系统生物学 [1,2] )。例如，
肿瘤抑制在各种基本的生物过程中起着关键的调控作用，包括发育，衰老和细胞区分。它可以通过其信号途径调节其下游基因，并进一步落实细胞周期阻滞和细胞凋亡 [36]。定性分析以及数值模拟在过去几年的研究中成为基因调控网络微分方程 (GRNS) 的重要途径 [710]。截止到目前，在GRNS的模拟中使用的算法主要是传统的Euler方法或龙格库Fehlberg方法 [1113]。但是，如果需要达到一个非常高的精度，必须采取非常小的步长。此外，传统的Euler类型方法往往不能保留系统一些重要的定性性质，这样就无法获得对基因调控网络动态正确的认识。
几何数值积分旨在有效求解微分方程而保留精确流的几何性质。分裂法是几何积分的有效方法之一。例如Blanes和Moan构造的对称四阶和六阶辛龙格库塔和龙格库塔尼斯特伦方法，这些方法具有优化效率 [14]。在具有稳定状态结构的基因调控网络的数值模拟中，分裂法具有很高的效率。本文旨在针对基因调控网络特殊的加性分块结构构造若干基于Euler方法的分裂方法。
1 欧拉法及辛欧拉方法
考虑一阶常微分方程：

(1.1)
数值求解方程 (1.1) 最简单的数值格式为：

(1.2)
其中
为步长。从初始值
出发可依次计算出
的近似值
。这种方法称为 (显示) 欧拉法 (Euler 1768)。近似值
在已知
的情况下由
明确的估计值计算出来,因此该方法称为显示欧拉法。这个公式代表了一个映射：
，称之为离散流或数值流。

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