对称帕斯卡矩阵的性质及其应用
对称帕斯卡矩阵是由帕斯卡三角形表构成的一类特殊矩阵。它具有的许多性
质在研究线性代数以及概率论中有着重要的应用价值。
本文综述了现有的研究资料，对其进行整理、分析和总结，研究了对称帕斯
卡矩阵的一些特殊性质。如对称帕斯卡矩阵可以进行 LU 分解。此外根据矩阵的
相似性变换以及矩阵的逆可以推导出对称帕斯卡矩阵是一个正定矩阵，所以它的
特征值均为正实数，并且证明对称帕斯卡矩阵的所有特征值之积为 1。最后讨论
对称帕斯卡矩阵在线性代数中的应用。
关键词 帕斯卡三角形，对称帕斯卡矩阵，LU 分解，特征值
1 引言4
1. 1 研究背景 4
1. 2 研究现状 5
1. 3 论文结构及主要内容. 5 2 对称帕斯卡矩阵的性质. 6
2. 1 预备知识. 6
2. 1. 1 杨辉三角的简单性质[18]：.6
2. 1. 2 矩阵及行列式相关概念和性质6
2. 1. 3 对( )n a + b 的认识[20]8
2. 1. 4 帕斯卡矩阵的定义[19].10
2. 2 对称帕斯卡矩阵的性质[19]11
2. 2. 1 对称帕斯卡（Pascal）矩阵的 LU 分解. 11
2. 2. 2 对称帕斯卡矩阵 n S 的特征值的特性12
3 帕斯卡矩阵的应用.14
3. 1 用帕斯卡矩阵求二项展开式的的系数[11]14
3. 2 帕斯卡矩阵在线性代数中的应用.15
结论18
致谢19
参考文献 20
1. 1 研究背景
“贾宪三角”是由北宋数学家贾宪在约 1050 年时首先提出，并进行高次开方运算. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
图解 贾宪三角[1] （又称杨辉三角）
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人. 他在 1261 年将贾宪三角形表表收录进了《详
解九章算法》[1] 一书中，命名为“开方作法本源”图，并注释说明此表引自公元 1050
年贾宪所创著的《释锁算术》，所以，杨辉三角也称为“贾宪三角”. 中国数学家贾宪是贾宪三角的提出者，称其为“释锁求廉本源”，后历朝历代的数
学家都对其进行了研究以及命名. 著名数学家华罗庚教授创作的《从杨辉三角开始》
一文将该类三角形称为“杨辉三角”，第一次将“巴斯噶三角形”归至宋代数学家名下；
此后的各类数学教科书和许多数学科普读物都跟随华罗庚称其为“杨辉三角”. 此外，
权威的中国数学史著作，都将其称为“贾宪三角”. 意大利人为了纪念在 16 世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚，将其命名为“塔塔
利亚三角形”，以表致敬. “Pascal 三角”是由法国数学家帕斯卡 13 岁时发现的（1623）. 他在著作《Traite du
triangle arithmetique》中详细介绍了这个三角形. 并研究收录了前人关于该三角的研究
成果，用它来解决一些数学中的问题，这一研究对数学发发展带来深远的影响. 后来， Pierre Raymond de Montmort 和 Abraham De Moivre 都称其为帕斯卡三角形
随着研究的深入，近来外国的数学家也开始承认帕斯卡三角形最早是由中国发现
的，故一些国外文章也称其为“中国三角形”(Chinese triangle).
1992 年时，R. Brawer 和 M. Piovino [17]综合了前人的研究成果，将帕斯卡三角形
进一步推广到了帕斯卡矩阵，并深入研究了帕斯卡矩阵的逆和它的分解. 在此基础上， Z. zhizheng 和 M. Liu 将其推广到了含有一个或两个变量的帕斯卡矩阵，以及这类矩阵
的变形矩阵. 1. 2 研究现状
杨胜良教授在著作《两类下三角形 Pascal 矩阵的相似性》[2]中深入探讨了帕斯卡
矩阵与位移帕斯卡矩阵意见的关系. 并运用矩阵变换和组合恒等式的方法推导出了帕
斯卡矩阵和位移帕斯卡矩阵以及若当标准型之间的过度矩阵. 杨教授在另一篇论文
《Pascal 三角形与 Pascal 矩阵》[1]给出了帕斯卡三角形中有关二项式系数的有关性质. 并以线性代数的知识更深层次的探讨了帕斯卡矩阵的性质和具体应用，最后将帕斯卡
矩阵推广到了广义帕斯卡矩阵的形式. 韩明教授在《Pascal 分布的参数估计》[3] 一文中研讨了帕斯卡矩阵的分布情况，
并根据其特性给出了一种新的方法来研究参数估计----Bayes 估计发. 在文章中杨教
授详细定义了 Bayes 估计法，并且给出了可靠度 Bayes 估计公式和性质以及 Bayes 估
计和多层 Bayes 估计的关系. 文章最后韩教授给出了具体例子，例题的结果表明韩教
授提出的 Bayes 估计发是方便可行的. 汪翔教授在《广义 Pascal 矩阵及其代数性质》[4]一文中，综述了前人关于帕斯
卡矩阵的研究成果，并在此基础上又给出了几类新广义帕斯卡矩阵的定义，即广义左
帕斯卡矩阵，广义右帕斯卡矩阵和推广的广义帕斯卡矩阵. 同时从代数的角度给了这
些矩阵一些简洁的证明，此外文章中还指出了这类矩阵的一些新的性质. 1. 3 论文结构及主要内容
本文拟通过对现有资料的整理、分析和总结，研究了对称帕斯卡矩阵的性质，诸
如其可以进行 LU 分解，并运用这一特性解决一些矩阵的求解问题. 此外根据矩阵的
相似性变换以及矩阵的逆可以推导出对称帕斯卡矩阵其实是一个正定矩阵，所以它的
特征值均为正实数. 对它的特征值进行观察很容易得出它的所有特征值之积为 1. 最
后讨论对称帕斯卡矩阵在线性代数方面的应用.
2 对称帕斯卡矩阵的性质
2. 1 预备知识
2. 1. 1 杨辉三角的简单性质[18]： （1）与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式( )n a + b 展开式的系数 r Cn . （2）对称性：杨辉三角以正整数构成，数字左右对称，对称轴是杨辉三角形底边
上的“高”，即 n r n r Cn C − = . （3）结构性特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和， 即 rn n r n r Cn C 1 C −1 − = − + （4）第n行的数字个数为n 个，且第n行的数字之和为 1 2n− . 2. 1. 2 矩阵及行列式相关概念和性质


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