一类超W代数W(2,2)的二上循环
摘 要
二上循环与二上同调群属于无限维李代数与李超代数的结构问题, 且两者与中心扩张有着直接联系, 在李代数结构理论研究中起着重要作用. 利用中心扩张可以构造许多无限维李代数. 众所周知, 二上同调群与中心扩张的等价类间存在着一一对应的关系. 这样, 要确定一个李代数的中心扩张, 只需要确定这个代数的二上同调群.
超 W-代数 W(2, 2) 是 上无限维李超代数, 由基 , , , 组成, 其中 , 通常记为 其中 . 显然, 是 阶化的, 也就是说我们可以用 和 的直和表示 , 其中 由 , 张成, 并且 . 而 由 , 张成, 其中 . 本文首先通过一系列的计算和证明确定了超 W-代数 W(2, 2) 的二上循环, 从而确定它的二上同调群. 接着通过计算和证明确定了超 W-代数 W(2, 2) 上的 Leibniz 二上循环, 进一步确定了它的 Leibniz 二上同调群.
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目录
1 引言1
1.1 国内外研究现状1
1.1.1 超W-代数 W(2, 2)1
1.1.2 二上循环1
1.1.3 Leibniz 二上循环2
1.2 研究目的和意义2
1.3 课题来源3
1.4 研究思路和方法3
2 主要结果及其证明4
2.1超 W-代数 W(2, 2) 的二上同调群4
2.1.1 主要结果4
2.1.2 证明过程4
2.2 超 W-代数 W(2, 2) 的 Leibniz 二上同调群12
2.2.1 主要结果12
2.2.2 证明过程13
结束语17
参考文献18
致谢19
1 引言
1.1 国内外研究现状
19 世纪后期, 挪威数学家 S. Lie 在研究连续变换群时引出了李代数这一全新的数学概念. 在随后的几十年中, 李代数被广泛地应用于群论问题线性化的研究中, 而且还引出了一系列有关有限群理论和线性代数的新问题, 使得李代数理论的研究得到了进一步的发展, 因此李代数研究方法也被广泛的应用于理论物理的研究领域.下面我们具体来介绍一下国内外有关超 W-代数的研究现状.
1.1.1 超 W-代数 W(2, 2)
超 W-代数 W(2, 2) 是 上无限维李超代数, 由基 , , , 组成, 其中 . 通常记为 , 其中 , 且满足下列非零李括号运算:
(1.1)
显然, 是 阶化的: , 并且
,
当 , Cartan 代数为 . 由此, 我们很容易看出来 包含了众所周知的由 和 张成 super-Virasoro 代数, 其中 .
1.1.2 二上循环
众所周知, 李 (超) 代数二上循环在李超代数中心扩张方面有着重要的作用. 因而, 出现了一系列有关无限围李 (超) 代数和 Leibniz (超) 代数上的二上循环以及二上同调群的论文. 比如, 文献 [2]-[4]分别确定了 (原) Schrödinger-Virasoro 变形代数, Weyl 型李代数, Schrödinger–Virasoro 代数的二上循环. 对于原 Heisenberg-Virasoro 代数, 文献 [7] 中不仅研究了该代数的二上循环, 同时也确定了该代数 Leibniz 二上循环. 文献 [1] 通过计算得到了 N=2 的超共形代数的 Leibniz 二上循环, 进而得到其 Leibniz 二上同调群和 Leibniz 泛中心扩张.
下面我们介绍一些建立在李超代数 上的相关定义. 设李超代数 上的一个二上循环是一个 双线性函数 满足超级斜对称和 Jacobi 超等式
(1.2)
(1.3)
其中任意 . 记 是 上二上循环的向量空间. 对于任意一个 线性函数 我们可以定义一个如下的二上循环 , 通常称为 的二上边缘或是平凡的二上循环
, (1.4)
记 是 的二上边缘的向量空间. 如果 是平凡的, 那么二上循环 和另一个二上循环 是等价的. 我们把如下的商空间称为 的二上同调群.
(1.5)
1.1.3 Leibniz 二上循环
如果去掉条件 , 那么任意一个李超代数 就是一个 Leibniz 超代数, 任意一个二上循环 就是一个 Leibniz 二上循环. 我们把 和 分别记为 上 Leibniz 二上循环和 Leibniz 二上边缘的向量空间, 则商空间 称为 的 Leibniz 二上同调群.
1.2 研究目的和意义
中心扩张在李代数的理论研究中起着重要的角色, 利用中心扩张可以构造许多无限维李代数, 其中域上李代数的泛中心扩张理论主要归功于 Howard Garland. 另外, 上同调群与李代数的结构密切相关, 因而计算上同调群也很重要. 众所周知, 二上同调群与中心扩张的等价类间存在着一一对应的关系. 这样, 要确定一个李代数的中心扩张, 只需要确定这个代数的二上同调群.
二上循环与二上同调群属于无限维李代数与李超代数的结构问题, 且两者与中心扩张有着直接联系, 在李代数结构理论研究中起着重要作用, 利用中心扩张可以构造许多无限维李代数. 另外, W-代数 W(2, 2) 及其超代数有很好的数学物理背景. 因此本课题研究超 W-代数 W(2, 2) 的二上同调群和 Leibniz 二上同调群是很有意义的.
1.3 课题来源
1.4 研究思路和方法
首先, 在指导教师的引导和指点下, 本人了解了一些与李代数有关的背景知识和一些诸如李代数, 二上循环, 二上同调群, Leibniz 二上循环, Leibniz 二上同调群等基本概念. 其次, 仔细研读指导老师推荐的有关李代数的书籍的部分章节和参考文献, 领会文献中研究问题的思路与方法. 最后, 在不断的思考与老师的交流中,借助已掌握的代数知识, 分析超 W-代数 W(2, 2) 的结构, 理解所研究的内容, 并结合实际研究的问题, 寻找解决问题的思路, 提出解决问题的方法, 在不断的尝试中推倒出所要研究的结论.
本篇论文中, 在研究超 W-代数 W(2, 2) 的二上循环及其 Leibniz 二上循环时, 主要借鉴了文献 [7] 和 [9] 中处理问题的方法, 同时适当的运用了数学归纳法, 进而促进了问题的解决.
2 主要结果及其证明
2.1 超 W-代数 W(2, 2) 的二上同调群
2.1.1 主要结果
简单来说, 我们可以把如下的 和 记为 上的二上循环
(1.6)
(1.7)
其中 , 任意 , , 其他情况都等于0 .
定理1.1 的二上同调群 由 (1.6) 和 (1.7) 中的 和 生成.
记 为所有非零整数的集合, 为非零复数的集合.
2.1.2 证明过程
定理 1.1 的证明 设 是任意一个 上二上循环. 定理 1.1 的证明需要建立在一系列技术引理上. 首先, 我们有如下的等式:
对于任意 , 定义如下的 线性函数
设 , 其中 如 (1.4) 中定义. 由以上等式, 我们可以得到
(2.2)
其中任意 .
引理2.1 .
证明: 由等式
得到
.
令 , 结合 (2.2) 得到
,
因此
.
令 , 得到
.
令 , 上面等式即为
,
所以
.
原文链接：http://www.jxszl.com/rwxy/shuxue/2652.html
