一类超W代数的导子代数与自同构群
摘 要
众所周知, 无限维李超代数的结构与表示理论是李超代数研究最主要的两个课题. 超 W-代数 W(2, 2) 是重要的无限维李超代数, 在数学物理领域中起着重要作用. 超 W-代数 W(2, 2) 与 W-代数 W(2, 2) 有着密切联系. 目前国内外有很多文献研究 W-代数 W(2, 2), 而关于超 W-代数 W(2, 2) 的研究却不多. 因此, 研究超 W-代数 W(2, 2) 的结构与表示具有一定的意义.
本文主要研究一类超 W-代数的导子代数和自同构群. 首先, 通过证明外导子等于内导子, 由此刻划出超 W-代数 W(2, 2) 的导子代数. 然后, 利用相关知识, 并通过具体计算得到它的自同构群.
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关键字:超W-代数W(2,2)导子代数自同构群
目录
1 引言1
1.1 国内外研究现状1
1.2 研究目的和意义2
1.3 课题来源2
1.4 研究思路和方法2
2. 主要结果及其证明3
2.1 超 W-代数的导子代数3
2.1.1 相关概念 4
2.1.2 主要结果4
2.1.3 证明过程 4
22 超 W-代数的自同构群11
2.2.1 相关概念11
2.1.2主要结果11
2.2.3 证明过程11
结语18
参考文献19
致谢20
1 引言
1.1 国内外研究现状
超 W-代数是重要的无限维李超代数. 超 W-代数 (2, 2) 与 W-代数 (2, 2) 有着密切关系. 目前国内外研究有关超 W-代数 (2, 2) 的文献不多, 因此我做这方面的研究具有一定的意义. 下面主要介绍一下国内外的研究现状. 首先重点介绍一下 Virasoro 代数, 扭 Heisenberg–Virasoro 代数和 Witt 代数
众所周知, Virasoro 代数在数学和物理理论的多个领域都扮演重要角色 Virasoro 代数出现在共形场理论的研究中, 它被看作是复杂的多项式向量领域的李代数, 也被看作是环导子的李代数. 无中心 Virasoro 代数被确认有许多种扩展, 其中之一就是 Schrödinger-Virasoro 型李代数. Schrödinger-Virasoro 李代数最初是由 Henkel 在非平衡统计物理的背景下引入的. 顶点代数的表示, 李双代数结构, 不可约重模块, 无限维重量空间和 Schrödinger-Witt 李代数的维塔克模块已经广泛地被研究.
有限维 Heisenberg 代数和 Virasoro 代数在数学和物理领域也有非常重要的作用. 扭 Heisenberg–Virasoro 代数被看作是对微分李代数的泛中心扩张. 扭 Heisenberg–Virasoro 代数的表示已经被 Arbarello 等人 (1998) 和 Billig (2003) 研究事实证明, 代数模块和全环面李代数的表示有密切关系.
Witt 代数 W 是一个在复数域上的无限维李代数. W 的唯一非平凡的一维中心扩张是 Virasoro 代数 Vir, 与 Kac–Moody 代数有密切联系, 在二维共形场理论有重要作用在经典的 Witt 代数和 Virasoro 代数中存在不同的推广, 这已经被许多人研究了.
文献 [1] 研究了扭 Schrödinger-Virasoro 代数的导子代数和自同构群. 文献 [2] 讨论了李代数 W(a, b) 的低维上同调群. 文献 [3] 则对 Schrödinger-Virasoro 型李代数的结构扩展进行研究. 文献 [4] 重点研究扭 Heisenberg–Virasoro 代数的导子代数和自同构群. 文献 [5] 研究了有限生成分级的李代数的导子和中心扩张. 文献 [6] 针对广义 Witt 代数的导子， 同构群以及二上同调群进行研究. 文献 [7] 主要对徐型李代数的导子和结构进行探究. 文献 [8] 研究广义 Weyl 代数的导子. 文献 [9] 探讨了李代数的导子和二上循环. 文献 [10] 刻划了广义 Schrödinger-Virasoro 代数的自同构群与 Verma 模. 文献 [11] 研究了扭 N=2 超共形代数的导子代数和自同构群. 文献 [12] 主要研究导子, 中心扩张和仿射李代数. 文献 [13] 对李代数 W(2, 2) 导子, 中心扩张和自同构群进行研究. 文献 [14] 重点研究无限维代数的上同调群. 文献 [15] 针对 Kac-Moody 代数的中心扩张进行研究.
1.2 研究目的和意义
本课题主要研究一类超 W-代数的导子代数与自同构群. 一类超 W-代数的导子代数与自同构群的研究对复数域上有限维李超代数理论的发展有着重要的意义.
目前, 已有很多研究这种类型的李超代数的文献, 并开始引起人们的重视, 但此类代数的结构与表示等方面还有很多问题等待人们去解决. 本课题就针对导子代数与自同构群这一方面展开具体研究.
1.3 课题来源
1.4 研究思路和方法
首先, 在指导老师的耐心讲解与引导下, 学习并掌握与本论文所研究问题相关的一些基本概念, 如李代数、导子代数、自同构群等, 并借助之前学过的高等代数和近世代数等方面的知识对所接触到的新概念进行理解与把握. 同时阅读相关的参考文献, 熟知研究相关问题的思路和方法, 并结合所研究的李超代数, 在运用文献中已有的技巧与方法的同时, 自己也创造性地引入了一些处理与解决问题的方法.
本论文在研究所讨论代数的导子代数和自同构群时, 主要参考并借鉴了文献 [1] 和 [4] 中处理相关问题的方法与技巧, 与此同时, 还需要具备较为敏锐的洞察力与灵活分析、解决问题的能力.
2 主要结果及其证明
下面我们先介绍一下超 W-代数 W(2, 2). 超 W-代数 W(2, 2) 是复数域上无限维李超代数, 由基 组成, 通常记为 , 其中 或 , 且满足(其余全为零)
(11)
显然, 是 阶化的: , 并且
,
当 或 , Cartan 代数为 . 很容易看出 包含了著名的超-Virasoro 代数, 其中超-Virasoro 代数由 张成.
21 超 W-代数的导子代数
211 相关概念
下面, 我们来回顾一些定义和符号. 设 是 C 上的李超代数. 所有下面的元素假设是 次阶的, 这里 . 对于 , 我们用 来表示奇偶, 即 . 一个 次阶的线性映射 : 使得对于所有的 , 存在 满足
(21)
被称为一个李超代数齐次导子. 如果 , 则 叫偶导子, 如果 , 则 叫奇导子. 用 来表示同质奇偶 导子集, 则 是 g 的导子代数. 用 表示内导子代数.
, 和 , 即 , , 和 很容易地看出 是一个 阶化的代数: , 这里 . 可以看出 也是 阶化的: , 这里 .
2.1.2 主要结果
定理2.1 .
2.1.3 证明过程
根据引理 2.2 和 2.3 证明定理 2.1
引理2.2 .
证明 对于任意的 , 其中 , 我们可以假设
(2.2)
这里的系数都在复数域内.
由于 是导子, 我们得到以下恒等式:
则
通过比较 和 的系数, 我们有
从而我们得到
(2.3)
通过恒等式 , 我们得到
通过比较 和 的系数, 我们有
从而我们得到
(2.4)
对于任意的 和 , 根据恒等式
得到
通过比较 和 的系数, 我们得到
从而我们得到
(2.5)
对于任意的 和 , 根据恒等式 我们得到
通过比较 和 系数, 我们得到
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