几类代数系统同态的性质比较[20191226204444]
摘 要
本文主要探究了几类代数系统同态的性质。在介绍了与同态相关的定义的基础上，我从两个角度去分析不同的代数系统在同态映射下性质的异同，一方面我通过考虑群在同态下所具有的性质，将它推广至整个代数系统，探究它是否也成立；另一方面，我考虑代数系统中的一些特殊元素，如：单位元、幂等元，尝试探究出一条在同态下整个代数系统都满足的性质。最后，我又比较了群与半群的的一些基本性质以及在自同态上的区别。
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关键字:代数系统同态映射单位元自同态
目 录
1.引言 1
2.基本概念 2
定义1.1代数系统. 2
定义1.2同态映射 2
定义1.2.1群的同态 2
定义1.2.2环的同态 3
定义1.2.3半群的同态 3
定义1.2.4满同态 3
3.各类代数系统同态的共性 4
定理1. 4
定理2 4
角度1：考虑群同态所具有的性质，从而推广至整个代数系统. 4
角度2：考虑一些特殊元素 7
1）单位元 7
2）幂等元 8
3.比较群与半群这两个代数系统间同态的不同性质 8
3.1群与半群在同态中的性质差异 8
3.2群与半群的自同态 9
参考文献 10
致谢 11
几类代数系统同态的性质比较
1.引言
同态是保持代数系统结构的映射。同态不仅是各种代数结构(例如半群、群、环等)的研究中的重要概念,而且也广泛用于几何、拓扑及分析等部门。同态中又分为半群同态、群同态、环同态、域同态等代数系统同态。国内外对于对于群环域的同态性质有了较为深刻的研究，但对几类代数系统同态性质这一层面上少有系统的归纳比较。本文旨在归纳各代数系统的性质，并列出部分性质。对一些重要的性质我们进行的证明
本文研究的课题是《几类代数系统同态性质的比较》。首先我们本论文对一些重要概念进行了阐述，为下文性质的归纳总结以及证明做铺垫。这些概念包括代数系统的定义，同态的定义，满同态，同构，以及一些特殊代数系统的同态定义，例如半群的同态，群的同态，环的同态等等。为了说明本论文的课题，我们将其分为两个大类进行说明。第一大类是各类代数系统的相同点，第二大类是各类代数系统的不同点。对于第一大类，我们首先叙述了各代数系统同态所具有的两个定理，即同态保结合律、保交换律、保第一分配律以及保第二分配律。为了更好的阐述各类代数系统所具有的共性，我们将从两个角度出发，第一个角度：考虑群同态所具有的性质，从而推广至整个代数系统，本论文列举了四大性质，并进行了详细的证明。第二个角度：考虑一些特殊元素，比如：单位元、幂等元等等，研究在代数系统的同态映射中是否保持一致.
对于第二大类是各类代数系统同态的的不同点，在这里，我们采取的方法是两两比较，首先半群和群进行比较，然后群和环等等，以及一些特殊的代数系统之间的比较，如低阶群与低阶半群的所有自同态结构。在两两比较时，我们往往从定义出发，例如在比较半群和群这两个代数系统同态的不同点时，我们先将定义给出，通过比较，我们发现，群相比较半群多出了两个性质，也就是群有单位元和逆元，而半群一般来说没有单位元和逆元，除了一些特殊半群（如幺半群含有单位元）。对于这两种主要的不同点，我们可以发现在群中的单位元通过同态的像还是单位元，原像的逆元同态后等于逆元的像，但是半群不一定有单位元和逆元，故这条性质不满足。但是如果是特殊的半群，如幺半群，那么幺半群的单位元同态后的像仍然是单位元。在这些性质的比较时，我们查阅了唐忠明老师的《抽象代数基础》第二版，张禾瑞老师的《近世代数基础》、孟道骥老师的《抽象代数1——代数学基础》、杨子胥老师、宋宝和老师的《近世代数习题解》。
本论文的结构如下：第二节是基本概念，第三节是代数系统同态性质的相同的，第四节是代数系统同态性质的不同点。
2.基本概念
定义1.1（代数系统）非空集合S和S上k个一元或二元运算 组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作 .
半群、群、环以及域是整个代数系统的重要组成部分.半群和群是带有一种代数运算代数结构，通常把这个代数运算称作乘法（不是普通的乘法）；环是具有两个代数运算的代数结构，通常把其中的一个称作加法，另一个为乘法；域是特殊的环，一个交换的除环叫做一个域.
定义1.2[2]（同态映射） 一个A到 映射 ，叫做一个对于代数运算 和 来说，A到 的同态映射，假如，在 之下，不管 和 是A的哪两个元，只要
就有
定义1.2.1[3]（群的同态）设 是两个群， 是集合 到 的一个映射，如果对 都有
,
则称 是群 到 的一个同态.进一步地，如果 是单射（满射），则称 是单同态（满同态）. 到 的同态成为 的自同态，用符号EndG表示G的自同态的集合.
定义1.2.2[3]（环的同态）设 是两个环， 是 到 的一个映射，如果对 都有
则称 是环 到 的一个同态.进一步地，如果 是单射（满射），则称 是单同态（满同态）.
定义1.2.3[4]设 是半群 到 的映射，如果对任意 有 则称 为半群 到 的同态映射，简称半群同态.如果同态 还是满射，称 满同态；如果同态 还是单射，称 为单同态.
定义1.2.4[2]（满同态）假如对于代数运算 和 来说，有一个A到 的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A和 同态.
例如：令 ：
显然， 是一个同态满射，所以 同态.
特别地，一个A到 间的一一映射 是一个对于代数运算 和 来说的，A和 间的同构映射（简称同构），假如在 之下，不管 和 是A的哪两个元，只要
就有
假如在A和 间，对于代数运算 和 来说，存在一个同构映射，我们说，对于代数运算 和 来说，A和 同构，并且用符号
来表示.
3.各类代数系统同态的共性
定理1[2]假定，对于代数运算 和 来说，A和 同态.那么，（i）若 适合结合律， 也适合结合律；（ii）若 适合交换律， 也适合交换律.
证明见P21—P22
定理2[2]假定，⊙， 都是集合A的代数运算， ，并且存在一个A到 满射 ，使得A与 对于代数运算 来说同态，对于代数运算 来说也同态.那么，（i）若⊙， 适合第一分配律， 也适合第一分配律；（ii）若⊙， 适合第二分配律， 也适合第二分配律.
证明见张P22
角度1：考虑群同态所具有的性质，从而推广至整个代数系统.
性质2.1[1]若 是群 到群 的同态， 是群 到群 的同态，则
1） 是 到 的同态；
2）若 , 都是满同态，则 也是满同态；
3）若 , 都是同构，则 也是同构。
现设 为代数系统 到 的同态映射， 为 到 同态映射，下证上述3个结论.
证：1）对于 且
故 是 到 的同态.
2）由 .
3）由 为一一对应，则 也是一一对应.
结论：性质 若 是代数系统 到代数系统 的同态， 是代数系统 到代数系统 的同态，则
1） 是 到 的同态；
2）若 , 都是满同态，则 也是满同态；
3）若 , 都是同构，则 也是同构.
性质2.2[3] ,
,
,
,
称 为 的核， 为 的象.易见， = .同时可以得到以下性质
设 是群 到群 的同态，则
1） 是单同态 ,其中e为 的核
2） 是满同态 .
为了要把该性质推到代数系统上，我们首先定义代数系统的核
定义2.2.1：设是 代数系统 到 的同态，则称

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