初等数学对高等数学学习的支撑作用[20191226205201]
摘要在如今的社会环境下，各个家庭对子女教育的重视已经到了一个空前的程度。学生从小学教育、中学教育到大学教育每一次的变革都会给学生情感态度、思维方式带来巨大的改变。而在学生的学习生涯中数学却扮演了一个重要的角色。现如今小学数学过度到中学数学已经可以说是完美衔接了，而中学数学过度到大学数学却出现了巨大的断层，到底是什么原因导致中学数学无法与大学数学衔接呢？说到底其实是初等数学和高等数学之间的联系被当下的教育给忽略了。本文的主旨意在讲述初等数学对高等数学学习的支撑作用，从而加强当下教育者们对初等数学和高等数学之间联系的理解，在中学阶段引导学生逐渐过度到高等数学中来。
正文
对于如今大家对初等数学和高等数学的理解，很多教育从业者都抱有高等数学是初等数学的继续和提高，主要作用是对初等数学提供理论的支持，更有甚者认为他们是中学数学教师，学习高等数学对自己在工作中的用处并不是很大，因此对学习高等数学的积极性不高。然而造成这种现象的根本原因就是初等数学和高等数学没能接上轨，其实初等数学是高等数学的基础，我们只有先通过学习初等数学来掌握学习数学的途径和方法，提高我们的数学修养、开阔思路并拓展自己的数学思维能力。因而初等数学的重要性不言而喻。
初等数学的发展现状和重要性
初等数学对高等数学的影响主要有以下五个方面
一．为开拓新的数学领域提供了方向
       1.沿初等数学的空间结构的各个方面进行拓广
这其中的首要问题是建立相应的空间结构。如何建立空间结构以及沿什么方向开展研究，在很大程度上是受到初等数学的启迪。现代数学的许多成果都是沿初等数学的空间结构各方面进行拓广研究而得到的。
2.由宏观到微观，由微观到宏观
从初等数学的函数平均变化率转化到对瞬间变化率的研究导致了导数概念的出现，并发展到今天的微分学；对空间几何形体的局部研究形成微分几何。而数理统计、拓扑学等则是基于由个别到整体，由微观到宏观方向的研究。
3.研究事物的对立面
现代数学的一些学科和学科内容是由研究初等数学中数学对象性质的对立面而得来的。非欧几何是典型的例子。根据与欧氏平行公理不同的两种平行公理分别建立了罗氏几何学和黎氏几何学。以动的观点代替静的观点，研究变与不变的对立统一关系，促使了对变换群及在其变换下不变量的研究，促使了高等几何和群理论的发展。由常量观念到变量观念的转变使常参数问题演变成多变元问题，也引导人们由数项级数研究函数项级数，由积分研究含参数积分。从确定性到随机性的考虑促使概率论的形成和发展。从清晰到模糊的考虑产生了近年来才出现的模糊数学。直到今天，现代数学还在从初等数学中取得启迪。
二．为新的数学理论研究提供原始模型
        近现代数学中许多概念和理论都是以初等数学的东西为原始模型而提出并研究下去的。如上所述，平面和三维空间是度量空间和赋范线性空间构思的原始模型。此外，由直线垂直引出向量正交概念，由坐标轴垂直引出空间分解问题。
三. 为新的数学领域提供丰富的研究内容
        初等数学里的许多东西成为现代数学所研究的内容。初等数学有加法、乘法、高等数学也广泛地研究加法和乘法。象矩阵的加法和乘法，极限和微分的加法法则，乘法法则等等。为什么我们把矩阵那种“离奇”的运算称为加法和乘法？就因为这些运算的性质象或有点像数的加法和乘法。初等数学有减法和除法，高等数学研究负元、逆元、可逆性、谱理论。初等代数研究多项式因式分解，而环理论中研究元素的因子分解。对应着初等数学的坐标系，勾股定理，高等数学研究基底、维数、福里叶级数、赋范正交系的完全性和封闭性。在平面几何里，三角形经平移、旋转、对称后仍保持全等，边及角度均保持不变。而研究在射影变换下的不变量便形成射影几何学。初等代数里有整数的同余问题，高等数学便研究商空间，初等数学研究长度、面积、体积，高等数学则研究测度、、、、、、总之，初等数学为现代数学提供了大量的课题和丰富的研究内容，其研究结果构成诸高等数学学科的重要篇章。
四．初等数学体现的数学思想指导着现代数学的研究和发展
        初等数学所体现的数学思想成为现代数学的重要思想。在运用函数思想研究新对象的过程中产生了抽象函数、泛函、算子、广义函数等函数的推广概念及相应的理论，统一处理了数学本身和工程物理中的以种种面貌出现的不同问题，显示了新的数学理论的巨大威力。运用方程思想研究函数和算子形成常微分方程、偏微分方程、算子方程等理论。在数学分析里化重积分为累计积分的构思是与初等数学里的逐步消元法相沟通的。解析几何所突出体现的数形结合思想在现代数学里等到广泛的应用，象泛函分析、微分几何等都是用分析的方法来研究几何问题。在优化思想的影响下，积极开展了对条件极值、线性规划和试验的最优化问题的研究。初等数学中求近似值所体现的逼真思想也同样有力地指导着现代数学的研究。象一致逼近、积分逼近，以测度逼近以及对稠密集和余项的研究等等成果均是基于这种数学思想取得的。近年来流形理论的新发展和纤维丛理论是现代数学中处于前沿的东西。所谓n维流形是一个拓扑空间，其上每点的邻域可以近似地看成n维欧氏平面的小球。这里应用的正是初等数学中的近似和逼近思想。由此可见，即使在现在初等数学中处理问题的数学思想还在对现代数学的发展发挥着巨大的影响，今后也将如此。
五．初等数学的局限性制约也促进着现代数学的发展
        随着人们对自然和社会认识的深化和科学技术的突飞猛进，初等数学在理论和应用上日益暴露出局限性和缺陷。这些局限性一方面制约着近代数学的发展速度和发展水平，甚至引起数学危机，另一方面也给现代数学的发展提供了动力，指出了方向。正是对这些局限性的深化研究才出现了实数理论、极限论和现代集合论，为整个现代数学奠定了牢固的基础，在20世纪中期迎来现代数学的大发展。现代数学首先是在初等数学试图完善自己的地方，在试图完善自己的过程中形成和发展的。
案例分析
1.高等数学与初等数学的联系之一是高等数学对初等数学进行理论上的支持，也就是初等数学中某些无法解释清楚的理论问题，必须用高等数学的知识才能解决。不过初等数学是学习高等数学的基础，不管高等数学如何能进行理论上的阐明，如果初等数学学不好，高等数学的解释也就是没有意义的。而且初等数学的知识对于高等数学的学习有数学维上的支持。
一些大学一年级学生认为,高等数学较中学阶段的初等数学抽象、不易接受,对纷繁复杂的题目更是无从下手,甚至认为高等数学是不可理喻的.刚刚开始学习就有一种畏惧感,久而久之学习上必然产生抵触情绪.下面两个例子试图向读者说明高等数学并不可怕,将初等数学思想升华可以解决诸多问题。
案例一
关于等差、等比数列求和公式和函数图像的应用
学习高等数学首先接触的就是极限问题，极限计算方法多、技巧性强，特别涉及到求无穷项的极限问题难度更大，要求级数之和就更难了。但此中如果熟悉并借助初等数学中等差、等比数列求和公式，那就轻松多了，也不易出错。
例题
求 的极限
错解：原式=
其原因：一是误认为无限个无穷小的和一定是无穷小，二是错用了极限的运算法则。
事实上，正确的解法应为：
解：原式=
知道了等差、等比数列求和公式的妙用再做。
案例二
例题：求级数 的和。
解：∵
∴
即
学习高等数学，初等数学的图象往往被学生忽略，其不知在许多场合下就是这些简单的图象会给你的学习带来不可低估的影响，会使你思路大开，获得较之其它更为形象逼真的最佳解法。如第一重要极限的证明、罗尔定理的证明(略)。对某些选择题，应用图象法更是简明清晰，直观性强。
案例三
对于函数． ，下列结论正确的是( )
① x=0是极大值点，②x=0是极小值点，③点(0，0)不是曲线拐点，④ 点(O，0)是曲线拐点
解：画出 。的草图(图1)。一目了然，
正确的答案应选④ 。
因为在点(O，0)左侧图形是凸的、右侧是凹的，故点(0，0)为曲线 的拐点。
若不用图象法，用极值、凹凸、拐点的判别定理来做，既繁且易出错。
案例四
例题：设D由 围成，则 （ ）
① ②1 ③ ④
解：画出草图(图2)，再考虑到二重积分中 ，知 就是积分区域D的面积的数值。而D的图形为三角形OAB，由初等数学知： 即应选③。
此题若按在直角坐标系下计算二重积分，无论怎样选择积分次序，确定累次积分的上下限都有一定的难度，容易造成失误，从中可见图象法独到之处。
案例五
关于对函数进行适当代数或三角恒等式变形问题微积分的计算在高职院校的教学要求中内容涉及到极限、一元微积分、多元微积分、级数、微分方程等，不论哪个方面，题稍微难一点都需要对运算对象进行适当代数或三角恒等式变形，初等数学这一关突不破，高等数学的计算就不灵活、不巧妙、准确度就差，就容易出错。反之就得心应手、事半功倍。
例题：求极限
此题为 型，不断地运用洛必达法则
则有：
如此周而复始，总之求不出极限。因此洛必达法则对该题失效、而用代数恒等变形后则：
解：∵
∴
案例六
 设函数f(x)和函数g(x)在R上可导,且对任意 有 ,则f(x)=0的任何两根之间必有g(x)=0的根.
证明  假设原命题不真.即
且 有
由
得
设
从而 在闭区间 连续,在开区间 可导,且 由Rolle定理，
即
2 进一步分析
事实上,上述充分必要条件只是一个充分条件,而不是一个必要条件.因为即使在一个零测度集上
也不会使得我们所求的联合分布函数和边缘分布函数值发生改变,所以要求处处有
才能说明随机变量X、Y相互独立是过于苛刻的.
那么,如何证明X与Y相互不独立呢?我们先给出准确的连续型随机变量X,Y相互独立的充分必要条件.
连续型随机变量X,Y相互独立的充分必要条件是:几乎处处有联合概率密度函数等于两个边缘概率密度函数的乘积.
如果要想证明两个随机变量X,Y相互不独立,必须证明:至少在一个非零测度集上,几乎处处有 （4）
正确做法如下:由所求得的边缘概率密度可得
在非零测度集A上,几乎处处有(4)式,所以X与Y相互不独立。
3 结论
目前国内的概率论课程基本上不以测度论为基础讲授,这使得判定两个连续型随机变量独立问题的充要条件表述不严密。严格的连续型随机变量X,Y相互独立的充分必要条件是：几乎处处有联合概率密度函数等于两个边缘概率密度函数的乘积。对两个随机变量X,Y来说,至少在一个非零测度集上,几乎处处有(4)式成立时,才能说两个随机变量不独立。
案例七
设函数f ( x) 在闭区间[ 0, 1] 上连续, 且
f ( 0) = f ( 1) ,
则对于自然数 , 必有 , 使得
证明 构造函数
分三种情况讨论:
（1）若 由
叠加得
又因为 ，故
此时取 即证
（2）若 除掉常函数0，证明同上。
（3）若在 上
因g(x)在 上连续，由零点定理，必有 满足 注意 而 知
证毕.
以上二例是”高等数学” 中具有代表性的习题,一部分学生对其束手无策, 根源在于初等数学素养的欠缺. 解例1 关键在于采用反证法, 在正确描述反命题后顺理成章应用Rolle 定理完成证明. 解例2 关键在于把构造的函数分类为(1)(2)(3) 三类, 在正确理解该分类恰好构成对函数性状的剖分后, 在(1)(2)情形下问题平凡, 仅在情形(3)应用零点定理问题立刻解决. 回味解题过程发现, 框架思路是初等数学中反证法及剖分思想给予的, 在细节上运用了一些 “高等数学” 中的新知识点, 大逻辑在于初等数学思想.
以下运用初等数学技巧研究调和级数与Maclaurin公式.
显然， 有
,
设 则
显然p 无限大当且仅当k 无限大. 由此可将调和级数截断成每段都大于1 的无限和, 这样仅仅运用初等数学中简单不等式就证明了调和级数发散, 形象可信,有利于理解级数的概念.
若f(x) 在x0 的某邻域内存在直到n- 1 阶导数,在x0 存在n 阶导数, 则有T aylor 公式:
设函数g( x) 在0 处满足上述条件, 则有Maclaurin公式：
一个函数在U( x0 ) 上某点的函数值在x0 处的Taylor 展开相当于另外一个函数在U( 0) 上某点的函数值的Maclaurin展开. Taylor 公式与Maclaurin 公式分别在任意一点x0 和特殊点0 展开函数, 故后者是前者的特例, 但经过初等数学中函数平移变换, 后者亦可推出前者, 说明Maclaurin 公式具有一般性.
事实上，令
注意到x- I U(0,D)当且仅当x I U( ,D),得
由
得
又
即得Tayor公式。
总结
由以上两个个例子可以看出，如果只用高等数学的知识解题的话，不免会无从下手，但只要巧妙得把初等数学中的思想和方法应用到高等数学中就会产生奇妙的结果，一些题目的本来繁杂的思考计算步骤就可以省略掉，变得既简单又明了。同样，还有其他很多例子都从不同的角度将初等数学应用到了高等数学上，而且都在一定程度上减轻了题目的难度。本文最遗憾的一点就是，作为中学教师很少能将高等数学联系到初等数学中去，最重要的原因便是大多数学生的接受能力有限，但若从另外一个角度去看，便会有趣地发现目前大学生抱怨学数学无用的话立不住脚了，因为我们可以用它来解决初等数学的题目，而且是用更简单的方法去解。另外更重要的一点是，数学是一门学问，一门有着庞大的体系而各体系之间又有着千丝万缕地联系的学问。从初等数学到高等数学，再从高等数学回归到初等数学，这样便形成了一个“圆”。这样的一个“圆”让学生体会到了数学的奇妙性，也增加了学生学习数学的兴趣，只要指引得当，也会减少大学生学习高等数学的抵触情绪，所以我认为本课题的研究是很有意义的。
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