原超W代数W(2,2)的超双代数结构[20191226204112]
摘要
众所周知, 李超双代数与量子超群有着紧密的联系, 李超代数是量子群理论的基本内容之一, 李双代数结构的研究主要体现在经典 Yang-Baxter 方程的解对应了李双代数上的三角余边缘的代数结构, 其中李代数结构理论中一类重要的问题是无限维李代数所对应双代数结构的分类.
原超代数是一种重要的李超代数, 而无限维李超代数的结构与表示理论是李超代数研究的相辅相成的两个方面. 它不仅仅是在数学上有着意义, 而且运用到物理方面, 对物理学方面也有着一定的应用.
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关键字:李超代数,Yang-Baxter方程,原超-代数
目录
1. 引言 1
1.1 国内外研究的现状 1
1.2 研究的目的和意义 1
1.3 课题的来源 2
1.4 研究的思路和方法 2
2. 主要结果及其证明 3
2.1 原超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构 3
2.1.1 相关概念 3
2.1.2 主要结果 5
2.1.3 相关引理 5
2.1.4 定理证明 14
参考文献 15
结语 16
致谢 17
1. 引言
1.1 国内外研究的现状
众所周知, 量子群有着深刻和丰富的研究结果, 与可积系统等很多数学物理分支有着密切联系, 不单单包含着半单李群李代数等很多方面的内容, 还展示了 Kac-Moody 代数等很多现代化的数学理论的诸多发展. 李超双代数与量子超群有着非常紧密的联系, 李双代数是量子群理论的基本内容之一, 最近出现了非常多的李双代数和李超双代数的文献. 重要的李双代数结构研究主要体现在经典 Yang-Baxter 方程的解对应了李双代数上的三角余边缘的代数结构. 由于李超代数、Yang-Baxter方程和量子超群的关系非常密切, 所以我们对李超代数的研究非常重要. 在指导老师的指导下, 我初步接触到了李超代数, 理解和掌握了一些相关的基本概念和背景知识. 通过认真研究指导老师指定的关于李双代数和李超双代数的文献, 对相关理论有了必要的了解, 并且学会了处理本文所涉及问题的技巧与方法. 最初由 Drinfeld 于 1983 年在文献 [1] 中提出在李双代数的概念, 主要是为了寻找 Yang-Baxter 方程的解时提出来的, 文献 [9] 最早研究了 Virasoro 代数的李双代数结构, 讨论了一些相关的性质与结论, 后来文献 [11] 对此类双代数进行了比较彻底的分类; 文献 [7] 和 [8] 研究了李余代数及与其密切相关的理论与结论; 随后一些文献研究了许多类型的李代数特别是 Virasoro 密切相关的无限维代数上的双代数结构与李超双代数结构, 其中文献 [12] 给出了广义 Witt型李代数上的李双代数的分类, 证明了李双代数是上三角余边缘的李双代数, 而且证明了一阶上调群是平凡的; 文献 [2] 对此类李代数进行了量子化; 文献 [6] 研究了 Block 型李代数的双代数结构; 文献 [5] 研究了 original 型 Schrödinger-Virasoro 代数的双代数结构；文献 [14] 研究了广义 Virasoro-like 代数的双代数结构; 文献 [15] 研究了 Ramond N=2 超 Virasoro 代数的双代数结构. 不同的代数背景, 遇到的困难也不尽相同, 没有统一的方法来处理这一方面的问题. 我们主要计划研究一类与 Virasoro 代数密切相关的原超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构.
1.2 研究的目的和意义
我们知道: 无限维李 (超) 代数的结构与表示理论是李 (超) 代数研究的相辅相成的两个方面. -代数 是在研究顶点算子代数表示理论背景下引入的, 在数学物理领域起着重要作用. 目前, 已有很多研究这种类型的李代数的文献, 并开始引起人们的重视, 但此类代数的超代数情形的结构与表示等方面还有很多问题需要人们去加以解决.
李双代数与李超双代数是在研究 Yang-Baxter 方程解的过程中提出来的, 与量子群和 Hopf 代数等相关理论有着密切联系, 不同的代数背景, 遇到的困难也不尽相同, 没有统一的方法进行处理, 结果也可能有所不同, 研究无限维李超代数的超双代数结构, 可以进一步进行量子化工作可以得到新的 Hopf 代数, 因此, 我们在本课题中研究原超 -代数 的超双代数结构是有意义的.
1.3 课题的来源
1.4 研究的思路和方法
首先在李军波老师的耐心引导下, 研究和学习掌握一些与论文研究的问题相关的一些概念, 如李超代数、Yang-Baxter 方程、李超代数的模、导子与逆导子的概念. 根据自己所学习的一些近世代数方面的相关知识对概念有了逐步深入的理解, 在导师的带领下, 根据已有参考文献中相关问题的研究思路与思想方法, 知晓了问题的研究背景, 掌握处理此类问题的方法与技巧, 通过研究此类超代数到其自身张量的一阶上同调群来刻划其超双代数结构.
2. 主要结果及其证明
2.1 原超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构
2.1.1 相关概念
首先, 我们回顾一下相关的定义. 设 在复数 上. 如果 , 即我们说 阶 是齐次的, 我们可以用 表示. 是 的超扭映射, 即:
对于任意 , 用 表示 个 的张量, 用 表示超循环映射 三元坐标置换, 即:
其中 是 的单位元. 从而李超代数的定义可以用以下的方法来描述: 一个李超代数是一对 , 向量空间 和一个双线性映射 , 它满足:
(1.1)
与此同时, 李余代数的定义也可以用下面这种方法来定义: 一个李超代数一对 , 其中向量空间 和一个线性映射 满足：
(1.2)
现在, 我们可以给出一个李超代数的定义, 如果一个三元组 满足:
其中符号 是超对角伴随作用
(1.3)
其中 .
用 表示 的泛包络代数和 对于两个集合 和 恒成立. 如果 , 下面的元素是在 中
与此同时下面的元素在 中
定义 1.1
(1) 余边缘李双代数是指四元组 , 其中 是一个李超代数和 那么 就是 的余边缘, 即
. (1.4)
(2) 李超代数 称为是三角的, 如果它满足下面经典的 Yang-Baxter 方程
(1.5)
设 是一个 L 的模, 其中 . 一个 的线性映射 是 到 的内导子 , 如果 那么
(1.6)
用 表示从 到 , 为所有导子的集合. 用 表示内导子 , 的集合, 定义
(1.7)
那么内导子的集合
用 表示 的一阶上调同群. 即:
元素 在超代数 上就说满足 Yang-Baxter 方程, 如果
(1.8)
我们在本文中探讨的原超代数 是一个在复数域上的无限维李代数, 在复数域上一组基 , 满足下面的等式 (未出现的为零):
(1.9)
显而易见的, 是 : ,
那么 Cartan 子代数 . 显而言知 包含着众所周知的无中心的 Virasoro 代数 , 无中心的 Ramond 代数 .
下面是这篇文章的结果.
2.1.2 主要结果
定理1.2
每种李超代数的结构在超扭 , 根据 (1.9) 得知 是三角余边缘.
2. 主要结论及证明
下面对于非超代数可以在 [11] 中找到, 与此同时超代数可以在 [16] 中找到.
2.1.3 相关引理
引理 2.1 设 是一个李超代数, 其中 .
(2.1)

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