古塔的变形
摘 要
古塔是我国独具代表性的建筑种类之一，它展现着我国悠久的历史文化，也向世界展示着我国古代独特的建筑特色和精湛的建筑技术。但由于古塔长时间承受自重、风力、温度等各种作用，以及地震、台风、暴雨等自然灾害的影响，古塔会产生倾斜、弯曲、扭曲等变形。本文根据测绘公司先后在1986年、1996年、2009年和2011年对古塔进行的四次观测得到的数据， 分析古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，并对古塔的变形趋势进行预测。首先，本文通过最小二乘法建立数学优化模型，拟合出古塔各层的中心点。利用MATLAB编程求出各层中心点坐标的通用方法及各层中心点坐标。其次，利用空间曲线拟合和MATLAB编程分析古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况。 最后，根据古塔的倾斜、弯曲和扭曲程度来分析古塔的变形趋势。
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关键字:数学模型最小二乘法空间拟合MATLAB
目 录
1. 问题重述1
1.1背景知识1
1.2 需解决的问题1
1.3 相关数据1
1.4 课题来源1
2. 问题分析2
2.1对问题的总体分析2
2.2对问题的具体分析2
2.2.1对问题一的分析2
2.2.2 对问题二的分析2
2.2.3 对问题三的分析2
3.模型假设3
4.符号说明3
5.模型准备3
5.1 对建筑物变形和相关术语的说明3
5.2 对遗失数据的预测4
6.模型的建立与求解5
6.1 问题一的分析与求解5
6.1.1建立模型的思路5
6.1.2空间平面拟合6
6.1.3 确定中心点位置8
6.2 问题二的分析与求解12
6.2.1建立模型的思路12
6.2.2 空间直线拟合12
6.2.3 倾斜程度分析16
6.2.4 弯曲程度分析17
6.2.5 扭曲程度分析19
6.3 问题三的分析与求解21
6.3.1 倾斜趋势预测21
6.3.2 弯曲趋势预测22
6.3.3 扭曲趋势预测23
参考文献24
附录251. 问题重述
1.1 背景知识
古塔是我国独具代表性的建筑种类之一，它展现着我国悠久的历史文化，也向世界展示着我国古代独特的建筑特色和精湛的建筑技术。古塔作为一种历史文物一直受到地方政府和相关文物保护单位的重视和保护。但由于古塔长时间承受自重、风力、温度等各种作用，以及地震、台风、暴雨等自然灾害的影响，古塔会产生倾斜、弯曲、扭曲等变形。为了保护古塔，文物保护单位和相关机构对古塔进行了多次的观测，了解古塔的变形情况并采取制定相关的措施加以保护。本文将通过测绘部分四次观测所得到的数据对古塔进行研究，经过分析问题、作出假设、建立模型、分析数据等步骤来确定古塔各层的中心位置，并分析古塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形问题和古塔变形的趋势。
1.2 需解决的问题
问题一： 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层的中心坐标。
问题二： 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
问题三： 分析该塔的变形趋势。
1.3 相关的数据
文物管理部门委托某测绘公司先后与1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。观测得到了大量统计数据，但是由于某些原因部分数据有误差和缺失现象。具体数据见附件1。
1.4 课题来源
本课题及课题中使用的相关数据来源于2013年高教社杯全国大学生数学建模竞赛。
2. 问题分析
2.1 对问题的总体分析
本课题将基于测绘公司4次观测到的数据，并根据已有数学建模知识、参考资料及书籍的辅助、加以MATLAB应用软件编程求解来一步一步解决问题。我将假设模型和建立可行的优化模型来求解出古塔各个楼层的中心点坐标，并进一步对数据进行处理，分析古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，并对变形的趋势作出预测。本课题将在模型的建立与求解中使用最小二乘法拟合、空间直线拟合、空间曲线拟合和MATLAB软件编程求解等方法。考虑到因某些原因观测数据有误差和缺失现象，我将根据数据变化的规律，通过对整体数据的分析，纠正和补缺在测绘中有较大误差和缺失的数据以减小误差。
2.2 对问题的具体分析
2.2.1对问题一的分析：
对于本问题我们可以先考虑对该塔某一层进行分析，把每层的观测点看成在同一平面上，用最小二乘法拟合观测点所在平面，再建立优化模型，在拟合的平面上找到到各观测点距离的平方和最小的点作为该层的中心点。利用MATLAB编程求解，确定该古塔各层中心位置的通用方法并列出各层的中心坐标。
2.2.2对问题二的分析：
先根据数据及MATLAB软件绘制出塔在各个年份的立体图，可大致观察出该古塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。为得到更为准确具体的分析，我将采用空间直线拟合法把各层中心点拟合成一条直线，并通过计算这条直线的斜率来分析该古塔的倾斜情况。从精确度考虑，塔的弯曲和扭曲主要从测量出的各楼层的观测点数据做考虑，以绘制的MATLAB图为主要依据，对图的分析得出塔在空间上的弯曲和扭曲的情况。
2.2.3 对问题三的分析：
问题三是在问题一和问题二分析的基础上，得出古塔的倾斜、弯曲、扭曲等的变形情况，再根据得出的结论估测古塔的总体变形趋势。
3. 模型假设
1. 假设各层的观测点在同一平面内。
2. 假设测量数据都是准确可靠的。
3. 假设古塔的变形只有倾斜、弯曲、扭曲造成，不考虑其他因素。
4. 符号说明
符号 符号说明
第k次观测时第i层第j个观测点坐标
第k次观测时第i层的中心点坐标
第k次观测时塔尖的第j个观测点坐标
第k次观测时塔尖的中心点坐标
第k次观测时第i层的拟合平面方程
第k次观测时古塔的倾斜角
第k次观测时古塔的弯曲率
第k次观测时古塔第i层第j个观测点相对于上次观测的扭曲度
第k次观测时古塔第i层相对于上次观测的平均扭曲度
5. 模型准备
5.1 对建筑物变形和相关术语的说明：
根据《中华人民共和国行业标准建筑变形测量规范（JGJ8-2007）》[1]，我们对以下关于建筑物变形的相关术语给出了合理科学的说明：
建筑变形：建筑的地基、基础、上部结构及其场地受各种作用力而产生的形状或位置变化现象。
倾斜：建筑中心线或其墙、柱等，在不同高度的点对其相应底部点的偏移想象。
弯曲：当杆件受到与杆轴线垂直的外力或在轴线平面内的力偶作用时，杆的轴线由原来的直线变成弯曲，这种变形叫弯曲变形。
扭曲：建筑产生的非竖向变形。
5.2 对遗失数据的预测：
在对4次观测数据进行了初步的观察和分析之后，我们发现：在第一次观测和第二次观测时的第13层的第5个观测点数据均缺失。由于两次数据的缺失可能会导致在找寻第十三层中心点位置时产生较大的误差，所以我们决定根据十二层、十一层和十层的第五个观测点坐标与第4个观测点坐标之间的相对变化情况，对十三层所缺数据进行合理的赋值。通过数据的分析及计算，我们发现第一次和第二次观测中，第十、十一、十二层的第4和第5个观测点之间的变化值均为（2.445，-0.366，-0.047）。从而预测出第一次观测第十三层的缺失数据为（568.355，519.527，52.833），第二次观测第十三层的缺失数据为（568.3608，519.521，52.8313）。
对于塔尖的观测数据，我们观察发现后两次测量时塔尖只有一个观测点。因为塔尖各个观测点的坐标变化非常小，所以对于只有一个观测点的塔尖数据，可以近似看作是塔尖中心点坐标。
图1：第十三层缺失数据预测
6.模型的建立与求解
6.1 问题一的分析与求解
6.1.1 建立模型的思路
问题一要求我们根据观测数据给出确定古塔各层中心位置的通用方法。根据中国建筑物变形测量规范，观测公司为更好地分析出建筑物变形情况，在古塔的每层都选取了多个观测点。我首先通过对原始数据的初步观察，再通过用MATLAB软件编程（程序见附录1）绘制1986年古塔各层观测点的分布图（如图2所示）。因为古塔修建年数已久以及可能存在的测量误差等原因，我们发现每层的八个观测点可以近似对称地分布在一个平面上。为了准确地给出古塔各层中心位置的坐标，我准备采用最小二乘法拟合出各层观测点所在的平面，再建立优化模型找出在平面内到各观测点距离的平方和最小的点作为古塔各层的中心坐标。
原文链接：http://www.jxszl.com/rwxy/shuxue/2668.html
