常微分方程的应用[20191227090102]
摘要
从初中接触、了解方程到高中熟悉应用方程，我们学习了很多种方程，如：线性方程、三角函数方程、指数方程等。但随着我们步入大学，我们发现这些方程有时并不能解决所有的实际问题，研究实际问题有时就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。
数学如果想在实际中解决实际问题，就必须建立数学模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题，而想要方便的建立数学模型常微分方程的应用就成了必不可少的过程
2.常微分方程的发展概况
常微分方程的源头问题与应用 在数学分析中，常微分方程是只含有一个自变量的微分方程。对于微积方程的基本概念，可以简单的认为是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程。一般的n阶常微分方程具有形式：
这里 ,是x，y， ,……, 的已知函数，而且一定含有
；y是未知 函数，x是自变量。 一般地说，n阶微分方程的解含有n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。 常微分方程在微积分概念出现后即已出现，对常微分方程的研究可分为几个阶段：发展初期是会具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中，1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方程”这个数学名词。常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的其雏形的出现甚至比微积分的发明还早。纳皮尔发明对数、伽利略研究自由落体运动、笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程。牛顿和莱布尼茨在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性，实际上是解决了最简单的常微分方程y=f′(x)的求解问题。此外，牛顿、莱布尼茨也都用无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程。 最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼茨。他用这种方法解决了形如 的方程，因为只要把它写成 就能在两边进行积分。但莱布尼茨并没有建立一般的方法。1740年，欧拉用自变量代换x=et把欧拉方程线性化而求得
的通解，其中 (i=1,2,...,n)是常数。1696年莱布尼茨证明，利用变量替换z= 可以将方程化为线性方程（y与y′的一次方程）。同年，雅科布·伯努利实际上用分离变量法解决了这一方程。约翰·伯努利给出了另一种解法，还提出了常系数微分方程的解法。1718年泰勒提出奇解的概念。克莱罗和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇解的方法。参加奇解研究的数学家还有拉哥朗日、凯莱和达布等人。 早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔于1841年证明卡迪方程不存在一般初等解而中断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。1873年，德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进。在适定性的研究中，与柯西、李普希兹同一时期，还有皮亚拿和比卡，他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法。皮亚拿在仅仅要求f(x)在( )点邻域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性，后来这方面的理论有了很大发展。这些基本理论包括：解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性，奇解等等，这些问题是微分方程的一般基础理论问题。 1816年，贝塞尔研究行星运动时，开始系统地研究贝塞尔方程
+xy′+( − )y=0
贝塞尔得到了此方程的两个基本解 (x)和 (x)。贝塞尔求得贝塞尔方程的级数解
令贝塞尔方程有形如y= 的级数解，代入贝塞尔方程得到ρ=±n，且得到 了系数Cn的递推公式
(ρ+n+k)(ρ+k−n) + =0,k=1,2,...
进而得到了系数 的表达式， ≡0。1810年，贝塞尔证明了 有无穷个零点。1824年，贝塞尔给出递推公式
x −2n + (x)=0
后来有众多数学家和天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式。由此可见，贝塞尔为微分方程解析理论做出了巨大贡献。19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需研究常微分方程的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代。 1881年，庞加莱独创出常微分方程的定性理论。此后，为了寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，他从非线性方程出发，发现微分方程的奇点起关键作用，并把奇点分为四类（焦点，鞍点，结点，中心）讨论了解在各种奇点附近的性状。同时还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如无接触环、极限环等。同时，庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为动力系统理论的开端。常微分方程定性理论中另一个重要领域是1982年由俄国数学家李雅普诺夫创立的运动稳定性理论。1982年李雅普诺夫的博士论文《关于运动稳定性的一般问题》给出了判定运动稳定性的普遍的数学方法与理论基础。到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念，并严格证明了其充要条件，使动力系统的研究向大范围转化。 20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期，从“求所有解”转入“求特殊解”时代，发现了具有新性质的特殊解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等。科技与数学界的重大发现是混沌、孤立子和分形，其中混沌、孤立子直接与微分方程有关。
常微分方程应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用常微分方程求解。此外，常微分方程在化学、生物学、经济学和人口统计等领域都有应用。
3.常微分方程在数学建模中的应用
3.1数学建模简介
数学建模是对复杂现象进行分析,用数学语言来描述其中的关系或规律,抽象出恰当的数学关系,并将其实际问题转化成为一个数学问题,同时运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解,对现实问题作出解释的过程。构建数学模型的过程不仅要对复杂的问题进行提炼、归纳和总结而且还应进行演绎推理。所以构建数学模型的过程也是一个演绎推理与归纳总结相结合的过程。对现实问题的观察、假设、归纳,怎样将其化为一个数学问题是数学建模的关键。但这仅仅是数学建模的开始,完整的数学建模过程还应求解数学问题并能得到所要求的解。同时还应看到得出的解是否与数据或实际经验相吻合,是否能解释实际问题;否则,还应重新修正。
3.2常微分方程在数学建模中的应用
模型化是通过研究模型来揭示原型形态、本质、特征的科学思维方法。它可以有目的地集中研究认识对象的主要结构和关系，抓住事物中的主要矛盾以及矛盾的主要方面，具有科学性和极强的可重复操作性，同时，模型化也是实践决定认识的一次飞跃过程。常微分方程自诞生之初，就是模型化的产物，尤其在实域解析理论阶段表现得特别充分。常微分方程早期多研究机械、电学系统，之后逐渐加强与其它学科的渗透支援，理论开始丰富和深化即使是20世纪30年代，蓬勃发展的无线电技术中的孤立等幅振荡，也极大她促进了极限环的研究。丰富了常微分方程的理论.时至今日:放射性元素的衰变模型、人口乃至生态系统的模型、医学方面的传染病模型、气象学中的洛仑兹模型、军事方面的军备竞赛湘作战模型等，给我们展示了常微分方程模型化的壮阔画卷.随着常微分方程的不断发展，常微分方程模型也逐渐现代化，在确定连续模型的基础上，从静态优化的微分法模型向动态模型、平衡与稳定状态模型及动态优化模型发展，对于复杂的实际问题,要建立一个较准确的描述它的状态的微分方程是件很困难的事,因为它不仅涉及到多种数学概念与方法,而且还涉及到该问题所属的实际学科的许多知识,有时甚至还要靠实验的帮助,才能建立起较能反映实际、而在数学上又有可能处理的方程来。但我们这里谈的是建立一阶常微分方程,难度自然就大大降低了(有的还是要在某些理想化的条件下) 。然而,对于初学者来说,要顺利、准确地列出方程还是有个学习与摸索的过程。为叙述上的方便,我们把实际问题粗略地分为几何学问题和其它学科问题两大类。对前者,我们建立方程时要求熟练地掌握导数、微分的几何意义,以及在分析学中熟知用导数、微分来表达许多其它几何概念,它们之间的关系式等;对后者,首先要求我们掌握导数是各种意义下的瞬时变化率这一物理意义,然后把这个概念用到该问题所属学科的某种相关联的定律中去,以列出我们所要的方程来。
应用微分方程解决实际问题,一般有三个步骤:
(1) 建立微分方程;
(2) 求解微分方程(或由方程讨论解的性质) ;
(3) 由所得的解或解的性质,反过来解释该实际问题。
4.常微分方程的应用
4.1价格模型
对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.
案例1.现在已知：某商品的需求量为Q=250-2P (P为价格，单位：元)求：(1)需求弹性；(2)使收人达到最高时的价格，并求此时的需求弹性．
解：(1)需求弹性是刻划当商品价格变动时，需求变动的强弱．
知
(2)
令 得 ，
当价格为 元时，收入最高．
此时，需求弹性
说明此时，价格与需求量边动的幅度相同，对商品进行需求弹性分析，对制定或调整商品价格具有重要意义．
案例2. 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型
解 假设在某一时刻 ,商品的价格为 ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格 的变化率 与需求和供给之差成正比,并记 为需求函数, 为供给函数（ 为参数）,于是
其中 为商品在 时刻的价格, 为正常数.
若设 , ,则上式变为
①
其中 均为正常数,其解为
.
下面对所得结果进行讨论:
（1）设 为静态均衡价格 ,则其应满足
,
即 ,
于是得 ,从而价格函数 可写为
,
令 ,取极限得
这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格 ,则动态价格就维持在均衡价格 上,整个动态过程就化为静态过程；
（2）由于
,
所以,当 时, , 单调下降向 靠拢；当 时, , 单调增加向 靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.
4.2人口增长模型
根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口 ，同时画出拟合效果的图形。
表1 该地区人口统计数据
年 份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2
年 份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930
人口 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1
年 份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
人口 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3
符号说明
时刻的人口数量
初始时刻的人口数量
人口增长率
环境所能容纳的最大人口数量，即
问题分析
首先，我们运用 软件[1]编程（见附件1），绘制出1800年到2000年的人口数据图，如图1。
图1 1800年到2000年的人口数据图
从图1我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且类似二次函数增长。 所以我们可以建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。
于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。
模型建立
模型一：二次函数模型
我们假设该地区 时刻的人口数量的人口数量 是时间 的二次函数，即：
我们可以根据最小二乘法，利用已有数据拟合得到具体参数。即，要求 、 和 ，使得以下函数达到最小值：
其中 是 时刻该地区的人口数，即有：
令 ，可以得到三个关于 、 和 的一次方程，从而可解得 、 和 。
我们用 编程（见附件2），解得 0.006018， , ，即：
从而我们可以预测2010年的人口数为 百万。
图2 二次函数模型的拟合效果图
图2是所得到的二次函数模型和原数据点的拟合效果图。 从图2可以看出拟合的效果在1950年之前还可以，但是对后期的数据拟合的不好。
模型二：阻滞增长模型
我们假设人口增长率 是人口数 的线性减函数，即随着人口数的增加，人口增长速度会慢慢下降：
人口数量最终会达到饱和，且趋于一个常数 ，当 时，增长率为0：
由上面的关系式可得出：
把上式代进指数增长模型的方程中，并利用初始条件 ，可以得到：
解得：
我们可以利用已有数据拟合求解得（程序见附件4）:
, -0.027958。
可以预测2010年的人口数为 百万。
图4 阻滞增长模型的拟合效果图
图4是阻滞增长模型的拟合效果图。 从图4我们可以看出我们的模型对该地区的人口数据拟合得很好。可以看出阻滞增长模型更客观地反映人口的增长规律，基本上都在拟合曲线上，拟合效果好，特别是后期的数据非常的吻合，所以次模型对未来的人口数预测是很适合的，结果更准确，对未来的预测比指数增长模型更为优越。
4.3存储模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产，不允许缺货。
模型假设：
1. 产品每天的需求量为常数 r；
2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；
3. T 天生产一次（周期）, 每次生产Q 件，当贮存量
为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；
4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
贮存量表示为时间的函数 q(t),显然是以T为周期的函数；t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以
需求速率r递减，q(T)=0
Q=rT
由周期性可知要计算总费用只要计算一个周期的总费用.由于准备费为常数,下面的重点是要计算贮存费.注意到q(t)是变化的,故计算贮存费需用元素法(定积分).以t为积分变量,[0,T]为积分区间,在积分区间取微分区间[t,t+dt],则贮存费微分为
dc=c2 q(t)dt
一个周期的贮存费为
一个周期的总费用为
每天总费用平均值（目标函数）为
于是所求模型为
模型求解结果在经济学中称为经济批量订货公式（EOQ公式），应用于订货、供应、存贮情形
4.4选址模型
某地区有n（n≥2）个商品粮生产基地,各基地的粮食数量分别为m1、m2、…、mn (单位：吨），每吨粮食一距离单位运费为c,为使各基地到仓库的总运费最小,问仓库如何选址?
模 型 假 设
1.各商品粮生产基地的粮食集中于一处；
2.各商品粮生产基地及仓库看作点；
3.各商品粮生产基地与仓库之间道路按直线段考虑。
模 型 建 立
建立平面直角坐标系xOy，各商品粮生产基地的坐标
分别为（xi,yi),i=1,2, …,n;仓库的坐标为（x,y),则各商品粮
生产基地到仓库的总运费为
于是模型为
模型求解
由
有
对一般n求解方程组（2）有一定困难！但n=2时比
较容易求得仓库坐标
自然推测对一般的n，方程组（2）的求解结果为
容易验证（4）满足方程组（2）。下面考察（4）式
这一结果可以解释为
平面n个具有质量mi的质点（xi,yi),i=1,2, …,n的质心
坐标就为（x*,y*)。
由此可以如下建立模型：
把n个分别拥有粮食mi吨的商品粮生产基地类比为
n个具有质量mi的质点（xi,yi),i=1,2, …,n，则总运费最小
的仓库位置就是这n个质点的质心（x*,y*)。
5.1总结
本篇论文列举了大量的数学建模实例，通过数学建模实例可以发现，在经济学、物理学等各个学科中，都能找到常微分方程的应用。微分方程作为数学科学的中心学科，已经有300多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解提供足够的方法。随着世界经济的不断发展和自然科学的快速进步，越来越多的现象需要通过数学语言加以描述，数学建模活动日益活跃，利用微分方程建立数学模型，将成为解决实际问题不可或缺的方法和工具。
微分方程建模是数学建模中的一个极为重要且必需的方法，也是解决实际问题的一个非常有效的方法，使用微分方程建立的模型一般都是动态模型，其推导过程虽是复杂，结果却是简单易明。因此，微分方程建模越来越受到人们的关注喜爱，并且广泛应用在科技、工程、生态、环境、交通等各个领域中，成为解决实际问题不可或缺的一部分。
 查看完整论文请+Q: 3519,1607,2 
关键字:
目录

原文链接：http://www.jxszl.com/rwxy/shuxue/2677.html