扭超W代数W(2,2)的超双代数结构[20191226204422]
摘要
扭超 W-代数 W(2, 2) 是一类重要的无限维李超代数, 它在物理和数学领域都有着广泛的应用, 此类型的李超代数的结构理论以及表示理论已经有了许多很好的结果. 李超代数不仅与量子群有重要的联系, 还与 Yang-Baxter 方程的解关系密切. 无限维李超代数中的双代数分类是李超代数结构理论中很重要的问题之一.
本文研究的是一类与 Virasoro 超代数密切相关的扭超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构, 此类代数的李超双代数结构都是三角余边缘的. 我们通过刻画此类超代数到其自身张量的一阶上同调群来确定扭超 W-代数W(2, 2) 的超双代数结构.
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关键字:李超代数Yang-Baxter方程扭超W-代数W(2,2)
目录
1 引言 1
1.1 国内外研究现状 1
1.2 研究目的和意义 2
1.3 课题来源 2
1.4 研究思路和方法 2
2. 主要结果及其证明 3
2.1 扭超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构 3
2.1.1 相关概念 3
2.1.2 主要结果 6
2.1.3 相关引理 6
2.1.4 定理证明 8
结语 27
参考文献 28
致谢 29
1 引言
1.1 国内外研究现状
我们知道: 李双代数的概念于 1983 年由 Drinfeld 在研究量子群的过程中提出来的, 随后出现了关于李双代数和李超双代数的系列论文. 我们在本课题中所要研究的是扭超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构, 对于李代数和李超代数的研究有着借鉴意义. 量子群可以看作李代数泛包络代数的形变, 也可看作是既非交换又非余交换的 Hopf 代数. 而李双代数结构决定了在量子化过程中间起着非常重要关键作用的 Drinfeld 扭, 并且李双代数与经典的 Yang-Baxter 方程的解有着一一对应关系, 这就告诉我们研究李双代数的结构理论是一个有意义的课题. Drinfeld 于 1983 年在文献 [1] 中寻找 Yang-Baxter 方程解时提出双代数概念, Virasoro 代数是一类重要的无限维李代数, 其李双代数结构最早在文献 [9] 中得到研究, 之后在文献 [11] 中, 此类双代数的的分类问题得到了彻底解决; 李余代数及相关理论与结论在文献 [7] 和 [8] 中得到了很好的研究; 随后许多类型的李代数特别是 Virasoro 密切相关的无限维代数上的双代数结构与李超双代数结构在一些相关文献中得到了研究和刻划, 文献 [12] 的作者部分地给出了广义 Witt 型李代数上的李双代数的分类, 同时通过证明一阶上调群是平凡的得到了此类李代数上的李双代数是三角余边缘的; 并且在文献 [2] 中得到了此类李代数的量子化; Block 型李代数的双代数结构在文献 [6] 中有了相关的研究; 在文献 [5] 中, 相应作者研究了 Schrödinger-Virasoro 代数的李双代数结构; 文献 [14] 的作者研究了广义 Virasoro-like 代数的李双代数结构; 文献 [15] 的作者研究了 Ramond N=2 超 Virasoro 代数的超双代数结构. 我们知道: 代数背景有所区别, 遇到的困难也往往不尽相同, 目前并无统一方法来处理相关问题. 我们计划研究一类与 Virasoro 超代数密切相关的扭超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构. 有了以上文献中处理相关问题的方法作为参考, 再加上指导教师的指点, 学习其中的思想方法, 形成了自己解决问题的方法, 通过刻画此类超代数到其自身张量的一阶上同调群来确定扭超 W-代数W(2, 2) 的超双代数结构.
1.2 研究目的和意义
众所周知, 无限维李超代数的结构与表示理论是李超代数研究中重要的基础性工作. 李双代数的概念在 1983 年由 Drinfeld 在研究量子群的相关问题时提出, 随后出现了与李双代数和李超双代数相关联的论文. 本课题主要研究扭超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构, 这对于相关问题的研究有着借鉴意义. W-代数 W(2, 2) 是在数学物理背景下引入, 并有着重要应用, 已有一些与此类李代数相关的参考文献, 此类李代数的超代数情形的文献不多, 还有很多问题可以研究.
1.3 课题来源
1.4 研究思路和方法
首先, 在导师的耐心讲解与辅导下, 对一些完成本论文所需要的一些基本知识和大概念, 如: 李代数、李超代数、导子代数等,有了基本的认识和了解. 并且能够结合以前所学习过的代数方面的相关知识, 对新知识进行理解与掌握. 其次, 查阅导师给我指定的相关参考文献, 以此来了解研究问题的背景, 了解处理相关问题的思路与方法,遇到不懂的地方向导师请教, 及时解决. 最后, 结合参考文献以及无限维李超代数的特点, 运用学习到的知识与方法, 加以灵活使用, 并在导师的耐心指导下, 我找到了解决问题的具体方法.
本文在研究李超双代数时, 主要参考了文献 [3] 和 [4] 中处理类似问题的方法, 同时, 还需要我具备较强的分析能力和解决问题的能力.
2. 主要结果及其证明
2.1 扭超 W-代数 W(2, 2) 的超双代数结构
2.1.1 相关概念
我们首先回顾一些相关的定义. 假设 是复数域 C 上的一个向量空间. 如果 , 那么我们说 是齐次的, 次数记为 , 并且我们写作 . 设 是 上的超扭映射, 即 , 对于任意的 .
对于任意的 , 记 表示 n 个 L 的张量积, 是 的循环映射, 即:
对于任意的 这里 1 表示 L 的单位映射. 李超代数的定义可以用以下方法描述: 是一个双线性映射, 满足:
(1.1)
则称由向量空间 组成的二元组 是一个李超代数.
同时, 李超余代数的定义可以被描述成如下方式:
是一个线性映射, 满足:
(1.2)
则称由向量空间 组成的二元组 是一个余李超代数.
现在我们能给出李超双代数的定义, 如果三元组 满足:
是一个李超代数,
是一个余李超代数,
对任意的 ,
其中符号 “*” 表示超伴随对角作用.
对任意的 , (1.3)
换而言之 , 对于 .
记 为 L 的普遍包络代数, 并且 对任意两个集合 A 和 B. 如果 , 那么接下来的元素都在 中:
同时,
均是 中的元素.
定义1.1 (1) 四元组 称作是一个上边缘的李超双代数, 如果 是一个李超双代数, 并且 使得 是 的上边缘, 即:
, 对任意的 . (1.4)
(2) 一个余边缘李超双代数 称作是三角的, 如果它满足下面的经典Yang-Baxter 方程:
. (CYBE) (1.5)
设 是一个 L-模, 其中 . 一个 -齐次线性映射 被称为是一个 的齐次导子, 如果 (对任意的 ),
, 对任意的 . (1.6)
用 表示所有 次齐次导子的集合. 则 是 到 的所有导子构成的集合. 用 表示所有 的齐次内导子构成的集合, 包含 , , 满足
, 对任意的 . (1.7)
那么 是所有内导子构成的集合.
记 为 的系数在 中的一阶上同调群. 那么
.
在超代数 中的一个元素 被称作满足修正的Yang-Baxter 方程, 如果它满足
, 对任意的 . (MYBE) (1.8)
我们本文中所讨论的扭超 W-代数 W(2, 2) (由 表示) 是在复数域 上的无限维李超代数一组基 , 满足下面的李超括号运算 (未出现部分全部为零)

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