超W代数W(2,2)的低维同调理论[20191226204532]
摘 要
众所周知, 李代数与李超代数在数学和物理的许多领域中起着重要作用, 其结构与表示理论往往是我们研究的主要问题. 我们知道, 二上循环在李 (超) 代数的中心扩展理论中起着重要作用, 近来出现了有关无限维李代数及其超代数的二上同调群、导子代数、自同构群等方面的论文. 本课题的主要目的是确定一类超 W-代数 W(2,2) 的二上同调群，导子代数及其自同构群.
本论文首先考虑了超W-代数的二上同调群，通过计算，我们得到了此类代数的二上循环. 然后我们阐述了了此类超W-代数的导子代数的结果. 最后，我们考虑了其自同构群.
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关键字:超W-代数W(2,2)普遍中心扩展导子代数自同构群
目 录
1 绪论 1
1.1 研究目的和意义 1
1.2 研究基础与现状 1
1.3 研究思路和方法 1
2 主要结果及其证明 2
2.1 超W-代数的二上同调群 2
2.1.1 相关概念 2
2.1.2 主要结果 3
2.1.3 证明过程 3
2.2 超W-代数的导子代数 7
2.2.1 相关概念 7
2.2.2 主要结果 8
2.2.3 证明过程 8
2.3 超W-代数的自同构群 12
2.3.1 相关概念 12
2.3.2 主要结果 13
2.3.3 证明过程 13
致谢 17
参考文献 18
1 绪论
1.1 研究目的和意义
我们知道，李代数与李超代数在数学和物理的许多领域中起着重要作用, 其结构与表示理论往往是我们研究的主要视角. 本文主要计划研究超W-代数W(2,2) 的二上同调群, 导子代数与自同构群等方面的低维同调理论.
1.2 研究基础与现状
李代数是由挪威数学家 Sophus Lie 和德国数学家 Wilhelm Killing 在十九世纪七十年代初和十九世纪八十年代初分别独立发现的. 现今, 我们都知道复数域上有限维单李代数可分为 4 大类典型李代和 5 个例外的李代数. Killing 早在 1888 年至 1890 年间实际就已经给出了上述的分类结果. 后来, 1894 年, 法国数学家 Elie Cartan 在其博士论文中修补了 Killing 分类工作中的一些缺陷. 从上世纪 20 年代初到 30 年代末, 德国数学物理学家 Hermann Weyl 对李代数也做出了重要贡献, 他证明了著名的 Weyl 特征标公式以及完全可约性定理. 现今, 我们还知道有限维复单李代数与九种 Dynkin 图一一对应. 这种图是 1947 年美国数学家 Eugene Dynkin 发明的, 他利用这种图简化了复半单李代数的分类.
中心扩张在李代数理论中扮演着重要角色, 利用中心扩张可以构造许多无限维李代数. 我们知道, 上同调群与李代数的结构密切相关, 且二上同调群与中心扩张的等价类间存在着一一对应关系, 要确定一个李代数的中心扩张, 只需要确定这个代数的二上同调群. 导子代数和自同构群与无限维李代数与李超代数的结构与表示理论也密切相关.
1.3 研究思路和方法
在指导老师的指点下, 确定研究的对象与问题, 搜集并部分研读与课题密切相关的参考文献, 了解与考虑对象密切相关的研究背景, 学会灵活处理相应问题的思路与方法, 根据已有技巧与方法, 积极探索自己所考虑的对象与问题, 最后完成所要研究的问题, 并得出相应结论.
2 主要结果及其证明
2.1 超 W-代数的二上同调群
2.1.1 相关概念
我们在这篇文章中研究的超 W-代数 W(2,2)（用 表示， 或 ）是复数域上的无限维李超代数, 以 为基础,
承认以下的非零方括号：
（1.1）
显然, 是 阶化： 还有
Cartan 子代数 包含无中心的 Virasoro 代数
我们会介绍以李(超)代数 为基础的相关概念. 的二上循环是复数域上的双线性函数 , 满足超反对称性和超雅可比恒等式：
（1.2）
（1.3）
对于 由 表示 的二上循环的向量空间. 对于复数域上的双线性函数 可以定义一个二上循环
（1.4）
称为二上边缘或 的平凡二上循环. 由 表示 的二上边缘的向量空间. 如果 是平凡的, 那么就说二上循环 等价于另一个二上循环 . 商空间
（1.5）
称为 的二上同调群.
为方便起见, 我们定义 的二上循环 和 ：
（1.6）
（1.7）
对于
2.1.2 主要结果
定理1.1 的二上同调群, 是由 和 生成的, 分别由（1.6）和（1.7）定义.
2.1.3 证明过程
如果我们移动条件 , 那么李(超)代数 会变成一个 Leibniz 超代数. 如果我们移动条件（1.2）, 那么二上循环 会变成一个 Leibniz 二上循环. 我们分别用 和 表示 Leibniz 二上循环和 的 Leibniz 二上边缘的向量空间. 那么相应的商空间 称为 的二上 Leibniz 同调群.
为了方便, 我们定义以下关于 的 Leibniz 二上循环 和 .
（1.8）
（1.9）
对于
关于李(超)代数 的二上 Leibniz 同调群, 我们有以下的推论,
与 一致.
推论 1.2 的二上莱布尼兹同调群, 是由 和 生成的，分别由（1.8）和（1.9）定义.
令 是 的二上循环. 定理1.1的证明以一系列的引理为基础. 首先, 有以下的定义：
定义复数域上的线性函数 如下：
对于 令 已在（1.4）中定义过. 从以上的定义中, 我们得到
（2.1）
对于 根据 (1.2),
（2.2）
对于
以下引理的证明可以在参考文献中找到, 就在这省略了.
引理 1.3
引理 1.4
引理 1.5
引理 1.6
引理 1.7
证明 以 为例, 由以下的恒等式
有
（2.3）
可以推断
当 根据（2.3), 可以推断
（2.4）
然后
可以证明出
（2.5）
当 由以下的恒等式
有
连同(2.2), 有
（2.6）
这个引理是由（2.5），（2.6）和（1.2）得出的.
引理 1.8 当
证明 的情况下, 以下的恒等式
有
（2.7）
在（2.7）中令 有
推出
当 （2.7）重写为

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