高三学生的范希尔几何思维水平特点
摘要
本研究在课程改革的背景下，研究高中学生立体几何思维水平的发展状况。我们借助范希尔几何思维水平的发展框架，根据中国学生的特点，改编Gutiérrez等人设计的量表与评价标准，在常熟市三所不同水平的高中内各选取一个高三班级作为样本进行测试，通过卡方检验和相关性分析，发现高三学生立体几何思维水平的发展具有如下特征：（1）学生在水平1和水平2上都得到了充分的发展，然而相比之下，在水平3和水平4上的发展比较缓慢；（2）学生在水平2、水平3、水平4上的思维发展是密切相关的，而水平1和这3个水平的发展并不存在显著的相关性；（3）重点中学的学生，他们在后3个水平上的发展要明显高于普通中学的学生。普通中学的学生，在各个水平上都不存在显著的差异；（4）在几何思维水平的发展上，男女学生之间基本不存在显著差异性。
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关键字:范希尔几何思维水平中学生立体几何思维水平相关性显著性差异
目录
摘要········································································I
Abstract····································································II
1研究背景···································································1
2理论基础···································································1
3研究方法···································································2
3.1量表及其评分原则的编制··················································2
3.2量表的实施······························································5
3.3数据的收集·····························································5
4研究结果···································································6
4.1高三学生立体几何思维水平在4个水平上的总体发展状况·····················6
4.2高三学生立体几何思维水平的个人发展类型·································8
4.3高三学生立体几何思维水平发展的差异性····································9
5研究结论与建议····························································10
5.1研究结论·······························································10
5.2建议···································································10
5.2.1给教师的建议······················································10
5.2.2给学生的建议······················································11
5.2.3给教材编写者的建议················································12
参考文献·····································································13
附录1：调查问卷·····························································14
附录2：评分原则·····························································15
致谢·········································································20
1研究背景
自我国2003年颁布《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）以来，特别是立体几何部分课程结构和教学要求的调整引起了许多争论。《课程标准》一改原有的课程体系，建议遵循“直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算”的认识过程，逐步展开立体几何内容。在必修课程中，要求学生能通过整体观察、直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现和论证一些几何性质。至于严密的论证和计算则放在选修系列中，采用向量法来处理[1] [2]。然而，不少学者指出，这样的处理方式，过于强调了几何直观和合情推理，忽视了演绎推理的作用，不利于学生逻辑思维能力的发展[3][4][5]。那么在课程改革的背景下，高中学生立体几何思维水平的发展状况到底如何呢？本文将围绕这个问题展开调查和讨论。
2理论基础
上世纪五十年代，范希尔（van Hiele）把学生的平面几何思维发展划分为5个水平[6]。水平1——视觉(visual)：学生根据几何图形的外观来确认和操作几何对象。水平2——描述/分析(descriptive/analytic)：学生可以通过图形的性质识别和描述几何对象。水平3——抽象/关系（abstract/relation）：学生可以形成抽象的定义，区分概念的充分条件和必要条件。他们可以根据图形的性质进行分类，同时还可以对分类作出非形式化的论证，但是他们还不理解几何结论的正确性是靠逻辑演绎来保证的。水平4——形式演绎（formal deduction）：学生可以在公理体系中建立定理，可以从已知条件出发，采用逻辑推理的方式证明命题。水平5——严谨/元数学（rigor/metamathematical）：学生完全能在数学系统中作出数学推理，能在缺少参照模型的条件下研究几何。但是不少研究表明学生的思维发展无法达到这个水平。范希尔认为学生几何思维的发展是有先后顺序的，只有在达到前一个水平之后，才有可能跳跃到后一个水平。然而，在现实中，有不少学生的思维发展违背了这个规律，他们在尚未达到前一水平的时候，却跳跃到了后面更高的水平[7][8]。于是，Gutiérrez等断言，学生的几何思维发展可能是连续的，而不是跳跃的；各个水平的发展可能是同时发生的，而不是单一的。为此，他们引入四维的向量来表示范希尔的四个水平，然后再把每个水平分成五个连续的发展阶段，并用定量的数值区间来刻画学生在每个水平上的发展状况[9]。
当学生在某个思维水平尚处于“未获得”的阶段时，这表明他们还没有形成这个水平所需要的思维方式。一旦，学生意识到了这种思维方式的重要性，他们会不断地去尝试运用。不过，由于经验的缺乏，学生也只是浅尝辄止，根本无法解决问题。这时，我们可以称他们还处于“低水平获得”的发展阶段。随着学习经验的积累，学生开始进入“中等水平获得”的阶段，他们开始学习如何使用这种思维方式。但是，一旦遭遇困难，学生又会回到前面的思维水平。在这个阶段，他们的思维方式会在两个水平之间不断地往返。随着经验的进一步丰富，学生的思维水平开始趋于稳定。尽管，他们偶尔也会出现错误，也会回到前面的思维水平，但是，学生已经进入“高水平获得”的发展阶段了。只有当学生能毫无困难地使用这种思维方式的时候，他们才真正达到了“完全获得”的发展阶段。
图1
3研究方法
3.1问卷及其评分原则的制定
在本研究中，结合我国《课程标准》的内容要求，我们对Gutiérrez等人设计的问卷进行了修改。同时，我们又根据Gutiérrez等人的评分原则（表1），给每个题的解答确定了详细的评分标准（详见附录2）。 在评分的过程中，我们不仅关注了学生解答的结果，而且还关注了学生思考的过程。也就是说，即使某个学生的解答是错误的，他也有可能得到一定的分数，因为他的思维方式可能是合理的。相反，即使某个学生得出的结果是正确的，他也未必就能得到高分，因为他的推理可能是低水平的。
表1 评分原则
获得水平 回答类型 评分原则 赋分
未获得 类型0 没有可以分析的答案。 0
类型1 答案表明该学生没有达到所认定的范希尔水平，但是答案又不能显示该学生处于前一个水平。 0
原文链接：http://www.jxszl.com/rwxy/shuxue/2691.html
