高中微积分课程与大学微积分课程的衔接研究
摘 要
通过对比高中微积分教材选修2-2和大学微积分教材高等数学，发现：高中教材在定义的描述上以变化率为基础，有别于大学教材的以极限为基础。在例题的层次上，高中教材更多的是对具体函数的研究，而大学教材的例题则比较抽象，层次上差异明显。习题的配置上，高中教材注重联系生活，在探索类的题目上安排较多。大学教材更倾向于在数学应用方面的练习。
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关键字:衔接定义习题配置
目 录
引言 1
1.大纲的比较与衔接 2
1.1普通高中数学与高等数学课程标准课时安排的比较分析 2
1.2普通高中数学与高等数学课程标准课程目标的比较分析 2
2.导数概念的引入与衔接 3
2.1引入方式的比较 3
2.2导数概念的比较 4
2.3例题与习题设置 5
3.导数的运算的比较与衔接 7
3.1导数公式和法则的比较 7
3.2复合函数的导数的比较 8
3.3例题与习题设置 9
4.导数的应用的比较与衔接 10
4.1函数单调性的比较 10
4.2函数的极值与最大值最小值比较 10
结语 11
参考文献 12
致 谢 13
高中微积分课程与大学微积分课程的衔接研究
引言
17世纪以来，伴随着社会生产力的快速发展，以及如天文、航海、工业建设等新兴行业各种问题的出现，数学的研究渐渐的涉及到了变量。微积分在此背景下应运而生，可惜当时还不能做出严谨的解释。直到19世纪，以柯西为首的一些科学家，通过对微积分理论的研究，提出了极限的概念，又经维尔斯特拉斯的严谨化，才使微积分发展起来。可以说微积分是继欧氏几何后人类数学史上最伟大的创造。现如今，不管是在天文学、地理学、生物学、化学、物理学等自然科学领域还是在社会科学和应用科学，微积分都有着广泛的运用。有了微积分，求解动量问题不再是只能得出个大概值，数学的严谨性得到了有效的保证。对于整个数学来说，微积分的地位无与伦比。如果将整个数学看做一颗大树，初等数学作为树的根，其他的数学分支是树的枝干，那么微积分就是整个树干的大部分。由此可见，微积分在高等数学中占据着主导的地位。
鉴于微积分在科学领域的广泛运用，微积分的教育为人们所重视。世界各国都开设了微积分的课程。布朗大学数学系教授，大卫（Danid Mumford）曾说过：“我们讲授微积分，是为了希望我们的学生中的一部分能追随我们对严谨性的热爱？还是为了使我们的大多数学生将来在他们的专业中有应用微积分的能力？”。国家的发展靠的是人才，而对于接受过高等教育的人才来说，没有接受过微积分的教育是无法想想的。
出于对微积分教学的重视，世界上多数国家包括我国，将微积分的教学下放到了高中阶段，为的就是让学生提前做好微积分的学习，为进入大学做打算。然而，就目前的情况来看，高中阶段的微积分教学自成体系，与大学微积分教学呈现出脱轨的状态。这样一来，微积分教学的下放将毫无意义。因此，国际上对于高中微积分课程与大学微积分课程的衔接研究从来都没有停歇，研究者们从教材、教学、学习等一系列方面提出了许多有价值的意见。
由于教师的教学与学生的学习不可控因数太多，一般的研究很难达到预期的效果，所以对微积分的衔接研究更多的是从教材的对比上入手。在此，选用苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-2（数学）2006版（以下简称选修2-2）与国内非数学专业使用广泛的同济大学数学系编的高等数学第六版（以下简称高等数学）进行比较。为了方便两个阶段的教材的对比，只有选取两本教材都涉及的部分导数部分进行对比研究。从而为衔接工作提出必要的意见。
1.大纲的比较与衔接
为了教学活动能够井然有序的进行，针对不同年龄段的学生的认知程度，国家制定了相应的课程标准。教材的编写以及一切的教学活动都要围绕着课程标准展开。因此，要对比两本教材就必须充分研读这两本教材对应的课程标准，从本质上了解它们之间的区别，以便找出衔接的接口。在此，对普通高中数学课程标准与高等数学课程标准进行比较。
1.1普通高中数学与高等数学课程标准课时安排的比较分析
选修2-2中涉及导数部分的内容为第一章1到4节，课程标准上给安排了24个课时用于导数的学习。而高等数学中涉及导数部分的内容为第一到第三章节，课程标准上给三个章节分别安排了8、8、10小时，总共26小时的时间用于导数的学习。可以看出两个阶段给予导数学习的课时还是很多的，尤其是选修2-2，占到了整本书安排的课时36课时的 。说明不管是大学还是高中，对导数的学习还是非常重视的。而且，导数是高中微积分与大学微积分课程衔接的关键，这么多课时的安排可以让两个阶段的衔接工作顺利进行。
1.2普通高中数学与高等数学课程标准课程目标的比较分析
普通高中数学课程标准中提出了具体要求要学生通过大量的事例，从平均变化率到瞬时变化率，逐步了解导数的概念，并熟悉各种导数计算，了解导数在函数的单调性和极值方面的应用，体会导数的思想和内涵，为后面的微积分学习打好基础。而高等数学课程标准的目标相比较而言要高的多，首先在第一章节补充了极限的概念，学生在进一步了解函数的基础上要学习并了解极限的概念，认识极限符号，熟悉极限的各种运算，并了解极限的性质。可以看出大学的数学教育更加严谨，这也是根据学生的认知差异所制定的。然后，第二章中除了具有普通高中课程标准中有关导数概念、导数的运算一些基本要求外，还要学会高阶导数的概念，并掌握隐函数和参数方程的一阶导数运算和简单的二阶导数运算。增加的要就目标体现了大学微积分课程研究的层次要高于高中微积分课程。最后，在第三章节里，在学习导数的单调性与极值应用前，课程标准对一些基础的知识如微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式做出了补充了解的目标。可以看出，大学微积分的教学更加符合数学的发展逻辑，显得更加严谨。
由以上的对比可以看出，普通高中数学课程标准与高等数学课程标准在框架结构上基本相似，高等数学课程标准在普通高中课程标准的目标基础上增加了一些基本定理的补充，显得更加完善。普通高中课程标准更加注重直观的感受，学生只要学会简单的运用，这样便于没有接触过高等数学的中学生理解。而高等数学课程标准更注重数学的严谨，从数学的自然发展步骤，运用抽象的手段逐步了解微积分的内涵。可以说，这样的安排很好的符合了不同层次的学生的认知特点。不过有利必有弊，学生经过高中的变化率导数的学习再进入大学将很难适应极限导数的学习。这样一来，提前学过的知识在某些方面反而成了一种负担。对此，可以在高中补讲数列极限的知识，让学生对极限有个初步的了解，以便更好的衔接。
2.导数概念的引入与衔接
2.1引入方式的比较
有关导数概念引入方式的比较（见表1）
表1
苏教版选修2-2（数学）2006版 高等数学（同济大学2006版）
教学线路 自然界的变化现象（气温“陡增”的数学意义）→变量变化的快与慢→平均变化率→瞬时变化率→导数（曲线上一点处的切线） 极限（数列极限→函数极限→极限四则运算法则→函数连续）→导数（一条线索：平均速度→瞬时速度→导数；另一条线索：曲线的割线→曲线上一点处的切线→切线的斜率→导数）
教学起点 平均变化率 极限
分析如下：
选修2-2充分考虑了学生已有的知识水平和认知程度，认准让学生充分理解导数本质的目标。以变化率为起点，联系生活当中的具体情景，再建立数学模型，引出导数的相关概念。这样不但能让学生更加容易理解导数，更是让学生体会到了建立数学模型解决问题的基本思想。其中在引入的过程中，书上没有单独的使用现实情景或纯数学例子，而是以两种线路分别展开。从p5到p8以气温陡增为例，以已有的平均数知识为基础讲述了平均变化率，在此基础上引入纯数学知识曲线的切线，相互交叉融合，让学生直观的感受到导数是怎样的一个概念。反观高等数学在导数概念引入的教学线路。极限作为重要的基础被讲解，涉及到数列和函数的极限。这样的设计对于严谨的数学是很有必要的，对学生产生系统性的知识结构有着重要的作用，国际上大学的教材也普遍采用这种设计。缺点就是逻辑性太强，学生在理解上有较大的难度。
总的来看，这两个阶段的教材设计都符合对应的阶段要求。但是，各自符合不代表能很好的衔接。高中教材的讲解方法虽然直观，却依旧是初等数学的思想，学生在进入大学后，不见得就能更好的理解大学里的导数概念。因此，在衔接教育的过程中，互相穿插一些有关另一个阶段的有关知识简单介绍显得十分有必要。
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