高等数学对初等数学教学的指导作用[20191226203814]
摘要
高等数学是在初等数学上发展起来的，在知识上是初等数学的继续和提高，在思想方法上是初等数学的因袭和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展。在初等数学（中、小学）教育的传统教学中，教师往往把重点放在知识的传授上，忽视的数学思维和数学能力的培养。本文以初等数学试题为例，举例说明了高等数学思想方法在解决初等数学相关问题上的显著作用，注重初高等数学的联系对比，不但可以降低初等数学教学难度，也有利于培养学生的解题能力和数学素养，提高教师水平和教学水平。
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关键字:高等数学初等数学教学
目录
1. 引言
2. 初等数学与高等数学的关系
2.1 数学的发展史
2.2 初等数学与高等数学的概念界定
2.21 初等数学
2.22 高等数学
2.23 数学是一个整体
2.3 初等数学和高等数学的关系
2.31 高等数学对初等数学的渗透
2.32 初等数学对高等数学的支撑
2.4 高等数学的思想在初等数学教学中的地位与作用
3. 高等数学方法在初等数学教学中的应用
3.1 微积分方法的应用
3.11 求函数的极值、最值
3.12 判断函数的单调性
3.13 在数列求和中的运用
3.14 求曲边图形的面积
3.15 变速直线运动
3.2 极限思想的应用
3.21 利用极限解决几何问题
3.22 利用极限证明不等式
3.3 向量方法的应用
3.31 向量在代数解题中的应用
3.32 向量在几何解题中的应用
3.4 概率论的应用
3.41 利用概率证明不等式
3.42 统计的应用
3.5 常微分方程的应用
3.51 水池注水问题
3.52 三角公式的证明
总结
参考文献
引言
在培养数学师范类学生时，除了开设初等数学教材教法的专业课程外, 还会开设高等数学方面的基础数学课程。然而, 初等数学与高等数学往往是呈阶梯式的跨越, 而螺旋式上升的内容与结构较少，使得高等数学在表面上与初等数学严重脱节，学生在面对高等数学时，已有的知识结构、思维结构几乎无法得以正向迁移。正因如此, 部分学生认为高等数学与今后从事的教师行业联系不上，即使现在“居高”，将来也不能“临下”，于是在学习中处于被动消极的状态，只图过关了事。但在毕业工作后才发现，在实际教学中仅掌握初等数学知识是远远不够的，高等数学的思想方法早已渗透到初等数学教材中，与此同时, 高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大，不学好高等数学根本无法胜任教学任务。
众所周知，高等数学知识是在解决实际问题的过程中逐步产生和发展起来的，它充满了丰富的数学思想方法，如极限与函数思想、数形结合思想、化归变化思想、模型思想等等。初等数学教材中涉及的内容，是高等数学的基础，许多未能用初等数学知识解决的问题可以在高等数学中得到解释。在教学中将初等数学与高等数学有机地结合起来, 才可以更好地把握数学知识的深度，了解数学问题的背景和实质，才能够从更高的角度俯瞰初等数学及其教学，有效提高教师的数学素养和数学能力，同时对于拓广学生的解题思路，提高解题能力，也大有裨益。
初等数学与高等数学的关系
2.1 数学的发展史
一般情况下，数学的发展被分为四个时期。萌芽阶段，数学的框架结构还未形成，数学还未从生产生活中脱离出来，人类在长期的生产劳动中，逐步建立起最基本的数学概念，认识了自然数、简单几何图形等，这期间的特征是算术与几何交织在一起。初等数学时期，这一时期是数学的形成时期，数学知识从经验到理论，从感性到理性，逐渐形成了数学理论的基础：算数、几何、代数等，这些成果构成了现在中学数学的主要内容。第三时期是变量数学时期，16世纪初，封建制度消亡，资本主义开始发展繁荣，机器大生产对数学提出了新的要求。实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究, 对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究。作为变化着的量的一般性质和它们之间依赖关系的反映, 在数学中产生了变量和函数的概念。[1]变量数学时期主要有两大成果：一是解析几何的产生；二是微积分的创立。现代数学时期，这一时期开始以代数、几何、分析中的深刻变化为研究对象。现代数学时期的研究成果，在实际生产实践中被广泛使用。
2.2 初等数学与高等数学的概念界定
1.21 初等数学
理论意义下，初等数学即为常量数学，主要研究的是常量的运算和图形的性质，即代数与几何。而教育意义下，我们依据教育的发展历程和教育的等级对初等数学和高等数学加以区分，即视普通初等、中等教育阶段的数学主要内容为初等数学。
1.22 高等数学
高等数学又称变量数学，是以解析几何和微积分的创立作为象征的，相对于初等数学而言，它的研究对象及方法较为繁杂，是以变量及变量之间的依赖关系—函数作为研究对象的，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等内容组成。作为一个有机的统一体，高等数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。在教育意义下，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学。
2.23 数学是一个整体
事实上，社会在不断发展，教育思想方法和教育内容在不断发展中，数学也处在不断地发展中，虽然初等数学与高等数学在观点、方法上有较大的区别，但两者没有严格的概念区别。大数学家希尔伯特认为：“数学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系，尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚地意识到：在作为整体的数学，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系，同时在它的不同部分之间也有大量的相似之处。”[2]高等数学与初等数学都是数学的重要组成部分，两个有大量的相似处，需要深入的研究才能阐明高等数学与初等数学之间的内在联系。
本文所讨论的初等数学和高等数学即是指教育意义下的初等数学和高等数学。
2.3初等数学和高等数学的关系
2.31 高等数学对初等数学的渗透
随着新课程改革的普及，高等数学的知识已经渗透到中学数学中。近年来，奥林匹克数学竞赛的试题中、高考试题中，与高等数学知识有关的题目呈现明显升高的趋势，这一类型的题目往往以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，体现高等数学中常用的解题思想和推理方法。这样的题目考察了学生的数学思维能力，在抑制题海战术上起着很大的作用，也有利于考试公平。
诚然，让小学生、中学生大幅度地学习高等数学知识不太现实，但是我们可以在教学中融入高等数学的思想，让学生学习这种解题的思维。现如今数学教育的核心任务是培养学生的数学素养和数学思维能力，这种素养和能力，不仅表现在对数学知识的记忆，更集中体现在数学思想方法的掌握上，反映在解决实际问题的本领上。对学生来说，在学习中掌握必要的知识固然重要，但更重要的是掌握数学思想方法，因为思想方法才是数学的灵魂，灵活运用数学思想方法，在学习中便能触类旁通，游刃有余。
2.32 初等数学对高等数学的支撑
初等数学是基础，高等数学则是继续和提高。在学习高等数学课程时，我们可以将已经学过的初等数学与其进行比较。例如三角形勾股定理的证明，可以用初等数学中的几何知识证明，也可以用高等数学解析几何中的向量法证明，这两种方法各有优劣。通过知识的对比性学习，可以体会到知识的相融性，提高理解能力和认识水平。
高等数学是在初等数学的基础上发展的，在学习高等数学时，我们也要注意知识的发展性。例如函数的单调性，中学时我们无法对其进行系统的证明，知其然，而不知其所以然。而在学习了高等数学中的导数后，通过求导数来便可以判定函数在区间上的增减性。通过用高等数学知识解决初等数学问题，可以体会到数学的发展性，激发学习的兴趣。
2.4 高等数学的思想在初等数学教学中的地位与作用
在过去的教育中，正是因为过于重视知识的传授和背诵，而忽略思想方法的讲解和分析，加上传统的考试制度，出现了“高分低能”的现象。在科学教育日益受到人们关注的今天，我们所需要的是具有全面科学素养的高素质人才，教育培养的重心也从传授知识转变为培养能力。学生数学思维能力的形成，对数学知识深刻理解和有效运用，都取决于学生本身能否对数学思想方法有较深刻的理解和认识。数学思想方法不仅推动着数学本身知识系统的完善与发展，同时，对数学教育的普及、完善和发展也起着关键的作用。

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