线性微分方程理论从一阶线性方程到高阶线性方程再到一阶线性方程组【字数：8707】
目录
摘要 I
Abstract II
1研究目的 1
2线性微分方程 2
3一阶线性微分方程 3
3.1一阶线性齐次微分方程的通解 3
3.1.1分离变量法 3
3.1.2积分因子法 4
3.2一阶线性非齐次微分方程的通解 5
3.2.1积分因子法 5
3.2.2常数变易法 6
4高阶线性微分方程 8
4.1二阶线性微分方程 8
4.1.1方程的解的关系 8
4.1.2降阶法 9
4.1.3积分因子法 10
4.1.4待定系数法 10
4.2二阶常系数齐次微分方程 12
4.3二阶常系数非齐次微分方程 14
4.4高阶常系数线性微分方程 15
5一阶常系数线性微分方程组 19
6结语 22
1研究目的
常微分方程是我们认识世界的一个手段，是各类学科如物理、力学、生物以及化学等学科的模型基础.因此，常微分方程对进一步的专业研究是至关重要的.
数学分析在大学课程中是理科专业的一门重要基础课程，但涉及到的微分方程，并没有对常微分方程进行进一步深入研究.微分方程主要研究未知函数及其导数的关系，当未知函数为一元时，方程即是常微分方程.为进一步深入研究，本文主要就常微分方程理论进行分析与梳理，理清一阶线性微分方程、高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组的关系.
通过梳理与研究，将三者之间的关系打通，做一个系统性的整合，能让初学者轻松地上手常微分方程.
2线性微分方程
我们知道，微分方程是未知函数及其微分（或导数）以及自变量组成的方程.而本文主要研究的是线性微分方程理论，如果在微分方程中，未知函数及其微分（或导数）存在线性关
*景先生毕设|www.jxszl.com +Q: ^351916072*
系时，即未知函数和它的各阶导数都是一次的，则这个微分方程为线性微分方程.
线性微分方程表达式的一般形式为：
. （2.1）
例2.1.1 以下微分方程哪些是线性微分方程.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：由于未知函数及未知函数的微分是判断微分方程是否是线性微分方程的关键，因此，和自变量没有关系.我们的关注点应该在未知函数上，题中方程（2）与方程（4）中的和是非线性的，因此方程（2）与方程（4）是非线性微分方程.在方程（1）与方程（3）中，虽然有和，但它们是自变量，与未知函数无关，因此，方程（1）与方程（3）是线性微分方程.
通过例题，我们知道了什么是线性微分方程.那么进一步，要研究线性微分方程的通解，我们可以从最简单的一阶线性微分方程开始.
3一阶线性微分方程
在线性微分方程中，当未知函数的导数最高为一阶导数时，微分方程则为一阶线性微分方程.即方程（2.1）中，、、都为，此时方程就变为：
.
我们一般写成以下方程的形式：
. （3.1）
而当时，则称此微分方程是一阶线性齐次微分方程，即
. （3.2）
下面，我们就先从简单的一阶线性齐次微分方程开始研究.
3.1一阶线性齐次微分方程的通解
3.1.1分离变量法
对一般的一阶微分方程
，
如果可以将它改写成的形式，即将自变量和因变量分离到方程的两边，那么我们就称这个方程为变量分离的方程.
对于一阶线性齐次方程，就是一个可变量分离的方程，也就是说方程（3.2）是可分离变量的微分方程，我们就可以用分离变量法求它的通解.
，
，
.
此时，我们就将方程（3.2）变量分离了，接下来用初等积分法即可求出方程的通解.
，
，
，
.
因为为任意常数，因此仍可记为任意常数.
于是我们可以得到一阶线性齐次微分方程的通解是.
例 3.1.1 求下列微分方程的通解.
（1）；
（2）.
解：这两个方程都是可分离变量的微分方程，因此可以用分离变量的方法解方程（1）和（2）.方程（1）分离变量变成，于是两边积分，最后可以求得通解为.同理，方程（2）可分离变量为，于是可求得方程（2）的通解为.
3.1.2积分因子法
当我们用分离变量法得到一阶线性齐次微分方程的通解时,观察方程（3.2）及其通解，我们会想到是否有这样一个函数，在方程（3.2）两边同乘这个函数，使得方程（3.2）变成形如的形式.
根据求导经验，我们可以发现在方程（3.2）两边同乘时，可以达到我们想要的效果.那么，我们就称为方程（3.2）的积分因子.
此时，方程（3.2）变形为，
，
，
于是得到方程的通解为
. （3.3）
例 3.1.2 求微分方程的通解.
解：可以找到积分因子，在原方程两边同乘，得到
.
化简得
，
进一步，解得方程的通解为
.
同时，由于我们已经知道一阶线性齐次微分方程的通解为.而此题中，因此，直接将代入通解，得到
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